Enunciado

Dados u = (1, 2), v = (3, 4), u ′ = (5, 6) e v ′ = (7, 8), ache uma transformação linear T: tal que Tu = u ′ e Tv = v ′.

Passo 1

A partir da relação:

T(x,y)=(ax+by,cx+dy)

E com as informações do enunciado, montamos a seguinte relação:

Tu = u ′, T(1, 2)= (5, 6)=(1a+2b,1c+2d)

Tv = v ′,T(3, 4)= (7, 8)=(3a+4b,3c+4d)

Temos o sistema:

T(u):

5 = 1 a + 2 b 6 = 1 c + 2 d

T(v):

7 = 3 a + 4 b 8 = 3 c + 4 d

Passo 2

Resolvendo o primeiro sistema:

5 = 1 a + 2 b 7 = 3 a + 4 b

a=-3

b=4

6 = 1 c + 2 d 8 = 3 c + 4 d

c=-4

d=5

Passo 3

Como T(x,y)=(ax+by,cx+dy)

Substituindo os valores de a,b,c,d:

T(x,y)=(-3x+4y,-4x+5y)

Resposta

T(x,y)=(-3x+4y,-4x+5y)

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