Seja P : a projeção ortogonal sobre a reta y = 3x. Dado o vetor u = (2, 5), determine x de tal modo que, pondo v = (x, 10), tenha-se Pv = Pu.

Passo 1

Sabemos que a projeção ortogonal sobre uma reta y = ax, é dada por uma transformação que retorna a reta y’ = ax’, de tal modo que:

X’= x 1 + a 2 + a y 1 + a 2

Y’= a x 1 + a 2 + a 2 y 1 + a 2

Como y = 3x deve corresponder a y = ax, então a=3.

Substituindo a=3:

X’= x 1 + 3 2 + 3 y 1 + 3 2

Y’= 3 x 1 + 3 2 + 3 2 y 1 + 3 2

Passo 2

Como Pv = Pu,

P(x, 10) = P(2, 5)

Como queremos descobrir x, substituímos os valores para coordenada X’ de P(2, 5) e P(x, 10):

X’(u)= 2 1 + 3 2 + 3   .     5 1 + 3 2 = 17 10 = X’(v)= x 1 + 3 2 + 3   .     10 1 + 3 2 = x 10 + 30 10

Assim,

x 10 + 30 10 = 17 10

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Resposta

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