Dados V 1 = ( - 3,5 , 2,1 ) e V 2 = ( 1 , - 2 , - 1,2 ) :

c ) Encontre vetores V 3 e V 4 que complete junto com V 1 e V 2 uma base do R 4 .

Passo 1

Para fazer isso agora é interessante se a gente pegar e escalonar a seguinte matriz cuja as linhas são dadas pelos vetores V 1 e V 2 para simplificar a nossa vida, dessa forma:

Uma vez que estamos procurando um conjunto de vetores que apenas forneça a solução trivial x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 para a seguinte expressão:

x 1 V 1 + x 2 V 2 + x 3 V 3 + x 4 V 4 = 0 ̄

Vamos começar a escalonar! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa é sempre transformar o primeiro termo da primeira coluna em 1, pois ele será nosso pivô, podemos fazer isso dividindo a primeira linha por - 3 :

Agora, precisamos eliminar os termos restantes da primeira coluna, isso pode ser feito subtraindo a linha 1 da linha 2, saca só!

Beleza, agora precisamos transformar o segundo termo da segunda coluna em 1, podemos fazer isso multiplicando a segunda linha por - 3 , de forma que:

Para finalizar, vamos eliminar o termo restante da segunda coluna, para isso, podemos somar na primeira linha a segunda linha multiplicada por 5 / 3 , obtendo:

Isso é o máximo que conseguimos simplificar este sistema, vamos procurar os nossos outros dois vetores agora!

Passo 3

Podemos dar um bom chute de vetores linearmente independentes se adicionarmos a matriz que construímos acima as seguintes linhas:

Ou seja, estamos chutando os vetores V 3 = ( 0,0 , 1,0 ) e V 4 = ( 0,0 , 0,1 ) . Note que se observamos a seguinte equação:

x 1 V 1 + x 2 V 2 + x 3 V 3 + x 4 V 4 = 0 ̄

Como temos termos na componente x 1 e x 2 em V 1 e V 2 respectivamente, será impossível somar estes vetores e obter 0, já que termos em diferentes componentes não se somam! Portanto temos apenas a solução trivial x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = 0 . Sendo assim, nossos vetores são linearmente independentes e portanto formam uma base! A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

B   = { ( 1,0 , 1 , - 12 ) ; ( 0,1 , 1 , - 7 ) ; ( 0,0 , 1,0 ) ; ( 0,0 , 01 ) }

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