Calcule m de modo que u → = ( 1 ,   2 ,   2 ) seja gerado por v → = ( m - 1 ,   1 ,   m - 2 ) , w → = ( m + 1 ,   m - 1 ,   2 ) . Em seguida, determine m para que u → ,   v → ,   w → seja LD.

Passo 1

Nesse problema o enunciado faz duas perguntas, mas na verdade elas são equivalentes! Dizer que u → é gerado por v → e w → é o mesmo que dizer que u → ,   v → ,   w → é LD.

Assim, basta construir o determinante com as coordenadas de cada vetor e força-lo a ser zero:

D = 1 2 2 m - 1 1 m - 2 m + 1 m - 1 2 = 0

Passo 2

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

2 - m - 2 m - 1 - 2 2 m - 1 - m - 2 m + 1 + 2 m - 1 2 - m + 1 = 0

Assim,

2 - m 2 - 3 m + 2 - 2 ( 2 m - 2 - m 2 - m - 2 + 2 m 2 - 2 m + 1 - m - 1 = 0

Logo,

- m 2 + 3 m - 2 - m 2 + 3 m + 2 m 2 - 3 m = 0

Portanto,

3 m 2 - 9 m = 0 ⇒ m 2 - 3 m = 0 ⇒ m m - 3 = 0

Assim, temos duas soluções possíveis:

m = 0             o u           m = 3

Resposta

m = 0             o u           m = 3

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