Seja A uma matriz m × n . Mostre que se o conjunto solução do sistema linear A X = B é um subespaço, então B = 0 ̄ , ou seja, o sistema linear é homogêneo. (Sugestão: se X é a solução de A X = B , então Y = 0 X também o é.)

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para começar, vamos lembrar a definição de um subespaço, belezinha? Saca só:

Seja uma matriz m × n e W   ⊂ R n o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X = 0 ̄ . Este conjunto satisfaz as seguintes propriedades:

a ) Se X e Y pertencem a W , então X + Y também pertence a W .

b) Se X pertence a W , então α X também pertence a W para todo escalar α .

Um subconjunto não vazio em R n que obedeça a) e b) é dito um subespaço! Vamos tentar usar isso para mostrar que B = 0 ̄ se a solução for um subespaço.

Passo 2

Vamos supor que a relação A X = B é verdadeira para um subespaço, note que pela propriedade a), temos que:

A ( X + Y ) = B deve ser verdade e também que A Y = B . Essa propriedade já o suficiente para nos dizer que:

A X + A Y = B → A X + B = B → A X = 0

Ou seja, B = 0 ̄ . Por completeza note que pela afirmação b) temos que A ( α X ) = B → A X = 1 α B , mas temos que A X = B e portanto B = 1 α B , o que é possível apenas se B = 0 ̄ . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo do passo 2.

Exercícios de Livros Relacionados