Seja A uma matriz m × n . Mostre que se o conjunto solução do sistema linear A X = B é um subespaço, então B = 0 ̄ , ou seja, o sistema linear é homogêneo. (Sugestão: se X é a solução de A X = B , então Y = 0 X também o é.)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 12

Seja uma matriz . Mostre que se o conjunto solução do sistema linear é um subespaço, então , ou seja, o sistema linear é homogêneo. (Sugestão: se é a solução de , então também o é.)

Passo 1

Eaew, tudo bem?

Para começar, vamos lembrar a definição de um subespaço, belezinha? Saca só:

Seja uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo Este conjunto satisfaz as seguintes propriedades:

Se e pertencem a , então também pertence a .

b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .

Um subconjunto não vazio em que obedeça a) e b) é dito um subespaço! Vamos tentar usar isso para mostrar que se a solução for um subespaço.

Passo 2

Vamos supor que a relação é verdadeira para um subespaço, note que pela propriedade a), temos que:

deve ser verdade e também que . Essa propriedade já o suficiente para nos dizer que:

Ou seja, . Por completeza note que pela afirmação b) temos que , mas temos que e portanto , o que é possível apenas se . A questão foi isso, te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo do passo 2.

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Sejam E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 uma base, u → = 1 ,2 ,- 1 E , f → 1 = e → 1 + e → 2 + e → 3 , f → 2 = m e → 1 + 2 m e → 2 - e → 3 , f → 3 = 4 e → 2 + 3 e → 3 .a) Para que valores de m a tripla F = f → 1

Verifique de u → , v → e w → são LI ou LD.a) u → = ( 1 ,0 ,0 ) , v → = ( 200 ,2 ,1 ) , w → = ( 300 ,1 ,2 ) .b) u → = ( 1 ,2 ,1 ) , v → = ( 1 ,- 1 ,- 7 ) , w → = ( 4 ,5 ,- 4 ) .c) u → = ( 1 ,- 1 ,2 ) ,

Sejam E = e → 1 ,e → 2 ,e → 3 uma base, f → 1 = e → 1 - e → 2 , f → 2 = m e → 1 + e → 3 , f → 3 = - e → 1 - e → 2 - e → 3 .a) Para que valores de m a tripla F = f → 1 ,f → 2 ,f → 3 é base?b) Nas condi

No paralelepípedo retângulo da Figura 7-4 (b), H G , B C e C G medem, respectivamente, 3 , 1 e 2 . a) Explique por que A B → ,A E → ,A D → é base e verifique se é ortonormal.b) Explique por que, em re

No tetraedro A B C D , seja X um ponto tal que A X → = mX D → . Determine os valores de m para os quais os vetores A X → + A C → , B X → + B C → e 1 - mB C → + A B → sejam LD.