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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 10b

Dê exemplo de:

b ) Quatro vetores V 1 , V 2 , V 3 e V 4 , sendo { V 1 , V 2 } L.I., { V 3 , V 4 } L. I., V 3 e V 4 não são combinação linear de V 1 e V 2 e { V 1 , V 2 , V 3 , V 4 } são L.D.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Vamos começar analisando uma perspectiva chave, um sistema Linearmente dependente tem solução não-trivial para a equação:

x 1 V 1 + x 2 V 2 + x 3 V 3 + x 4 V 4 = 0 ̄           ( 1 )

Vamos tentar propor exemplos fáceis das condições acima, beleza?

Passo 2

A primeira coisa que eu definiria são os seguintes vetores:

{ V 1 , V 2 } = { ( 1,0 , 0,0 ) , ( 0,1 , 0,0 ) }

Ambos estes vetores permitem apenas a solução trivial ( x 1 = x 2 = 0 )para:

x 1 V 1 + x 2 V 2 = 0 ̄

Portanto, são linearmente independentes! Beleza, temos nossos dois primeiros vetores. Agora precisamos analisar a condição de { V 3 , V 4 } serem L.I., bora lá!

Passo 3

Podemos fazer algo bem análogo ao feito na alternativa anterior, ou seja, propor o seguinte:

{ V 3 , V 4 } = { ( - 1,0 , 1 , - 1 ) , ( 0 , - 1 , - 1,1 ) }

Novamente, temos que:

x 3 V 3 + x 4 V 4 = 0 ̄

Apenas se x 3 = x 4 = 0 . Ou seja, são L.I. Agora, precisamos checar se essa nossa escolha não é combinação linear de V 1 e V 2 . Vamos com calma!

Passo 4

O que define que um vetor seja combinação linear de outros dois vetores? Que a seguinte relação seja possível:

V 3 = α V 1 + β V 2

ou

V 4 = α V 1 + β V 2

Como V 1 nem V 2 tem componentes na terceira (ou quarta) coordenada, é impossível que isso aconteça, portanto, essa condição é válida. Finalmente, precisamos checar se o sistema pode ser L.D. Bora lá!

Passo 5

Para que esse sistema seja L.D ele precisa permitir uma solução não trivial para a equação (1), ou seja:

x 1 ( 1,0 , 0,0 ) + x 2 ( 0,1 , 0,0 ) + x 3 ( - 1,0 , 1 , - 1 ) + x 4 ( 0 , - 1 , - 1,1 ) = 0

Note que se x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = α , em que α é um valor real qualquer, temos aí uma infinidade de soluções não triviais para este sistema. Portanto, os vetores são L.D.! A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

{ V 1 , V 2 , V 3 , V 4 } = { ( 1,0 , 0,0 ) , ( 0,1 , 0,0 ) , ( - 1,0 , 1 , - 1 ) , ( 0 , - 1 , - 1,1 ) }

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