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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 30

Nos Problemas 25 a 30 , obter uma equação geral do plano:

30) Que contenha o ponto A ( 1 ,   - 2 ,   1 ) e o eixo x .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para equacionar um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) , né? E daí a equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Sendo assim a ideia pra resolver essa questão é a seguinte: determinar dois pontos da reta e junto com o ponto dado, construir dois vetores, tipo assim:

Esses dois vetores vão formar uma base para nosso plano! Em seguida vamos fazer o produto vetorial entre eles, pois assim vamos obter um vetor normal ao plano que contém tanto a reta (nesse caso o eixo x ) quanto o ponto.

Com o vetor normal e o ponto na mão é só equacionar o plano!

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelos pontos. Do enunciado, a reta r é o eixo x , então sua forma paramétrica é:

r :   x = t y = 0 z = 0

Fazendo t = 0 temos o ponto B ( 0 , 0,0 ) . E fazendo t = 1 temos o ponto C ( 1 , 0,0 ) .

Com isso podemos escrever os dois vetores:

A B → = B - A = 0,0 , 0 - 1 ,   - 2 ,   1 = ( - 1,2 , - 1 )

A C → = C - A = 1,0 , 0 - 1 ,   - 2 ,   1 = ( 0,2 , - 1 )

Passo 3

Agora com os dois vetores o próximo passo é fazer o produto vetorial entre eles:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 1 2 - 1 0 2 - 1 = i ^ - 2 + 2 + j ^ 0 - 1 + k ^ ( - 2 + 0 )

= ( 0 , - 1 , - 2 )

Passo 4

Agora juntando o vetor normal 0 , - 1 , - 2   com o ponto A ( 1 ,   - 2 ,   1 ) podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

0 x - 1 - 1 y + 2 - 2 z - 1 = 0

- y - 2 - 2 z + 2 = 0

y + 2 z = 0

Assim a equação do plano é y + 2 z = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

y + 2 z = 0

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