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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 14

O ponto A = ( 4,2 , - 1 ) é o pé da perpendicular baixada de B = ( 1,1 , 1 ) ao plano π . (a) Escreva uma equação de π . (b) Ache as coordenadas do ponto simétrico de B em relação ao plano π . (c) Escreva equações de uma reta qualquer contida em π . Explique por que você acha que ela está contida em π .

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Letra (a)

Já que o ponto A é o pé da perpendicular baixada de B , temos que o vetor normal ao plano π será:

n π = A B →

n π = ( - 3 , - 1,2 )

Passo 2

Como A = 4,2 , - 1 ∈ π , temos que:

π :   - 3 4 - 1 2 + 2 - 1 + d = 0

d = 16

Portanto, a equação de π é:

π :   - 3 x - y + 2 z + 16 = 0   - 1 x

π : 3 x + y - 2 z - 16 = 0

Passo 3

Letra (b):

O ponto B ' , simétrico de B em relação ao plano π , é o ponto que pertence a reta r , cujo vetor diretor é A B → . Assim, a equação paramétrica de r é:

r : x = 1 + 3 t y = 1 + t z = 1 - 2 t ; t   ∈ R

O ponto B ' pertence a r . Logo, ele deve satisfazer a equação da reta:

B ' = ( 1 + 3 t , 1 + t , 1 - 2 t )

Passo 4

Para B ' ser simétrico de B precisamos que:

d A , B = d ( π , B ' )

Portanto:

d A , B = 9 + 1 + 4 = 14

d π , B ' = 3 1 + 3 t + 1 + t - 2 1 - 2 t 14

Igualando as equações:

14 = - 14 + 14 t

t = 28 14 = 2   o u   t = 14 - 14 = 0

Se t = 0 ,   B ' = B = ( 1,1 , 1 )

Se t = 2 ,   B ' = ( 7,3 , - 3 )

Passo 5

Letra (c):

Já vimos que A = 4,2 , - 1 ∈ π .

Supondo valores arbitrários para x , y e z chegamos ao ponto:

P = ( 0,0 , - 8 )

P satisfaz a equação de π . Logo P ∈ π .

O vetor A P → = ( - 4 , - 2 , - 7 ) é paralelo a π . Portanto a reta s está contida em π já que possui seu vetor diretor paralelo ao plano e 2 pontos que a pertencem também pertencem ao plano.

A equação paramétrica de s é:

x = 4 - 4 t y = 2 - 2 t z = - 1 - 7 t ; t   ∈ R

Resposta

l e t r a   a : π : 3 x + y - 2 z - 16 = 0

l e t r a b :   B ' = ( 7,3 , - 3 )

l e t r a   c : s   e s t á   c o n t i d a ,   p o i s   é   p a r a l e l a   a   π   e   2   p o n t o s   q u e   a   p e r t e n c e m   t a m b é m   p e r t e n c e m   a o   p l a n o .

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