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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 27

27. Dados os pontos A 2,1 , - 1 e B 0,2 , 1 , determinar o ponto C do eixo O y de modo que a área do triângulo A B C seja 1,5 u.a.

Passo 1

Já podemos começar definindo o ponto C , que está em cima do eixo O y :

C 0 , y , 0

E a área do triângulo sabemos que podemos calcular por:

A Δ = 1 2 A B → × A C →

Passo 2

Vamos achar os vetores:

A B → = B - A

A B → = 0,2 , 1 - 2,1 , - 1

A B → = - 2,1 , 2

A C → = C - A

A C → = 0 , y , 0 - 2,1 , - 1

A C → = - 2 , y - 1,1

Passo 3

E agora calculando o produto vetorial:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 2 1 2 - 2 y - 1 1

A B → × A C → = 1 1 i ^ + 2 - 2 j ^ + - 2 y - 1 k ^ - - 2 1 k ^ - y - 1 2 i ^ - 1 - 2 j ^

A B → × A C → = 1 - 2 y - 1 i ^ + 2 j ^ + - 2 y - 1 + 2 k ^

A B → × A C → = 3 - 2 y i ^ + 2 j ^ + 4 - 2 y k ^

E calculando o seu módulo:

A B → × A C → = 3 - 2 y 2 + 2 2 + 4 - 2 y 2

Passo 4

Agora é só substituir tudo na fórmula pra acharmos o y ...

A Δ = 1 2 A B → × A C →

1,5 = 1 2 3 - 2 y 2 + 2 2 + 4 - 2 y 2

3 = 3 - 2 y 2 + 2 2 + 4 - 2 y 2

Elevando ao quadrado dos dois lados:

9 = 3 - 2 y 2 + 2 2 + 4 - 2 y 2

9 = 9 - 12 y + 4 y 2 + 4 + 16 - 16 y + 4 y 2

8 y 2 - 28 y + 20 = 0

2 y 2 - 7 y + 5 = 0

x = 1   o u   x = 5 2

Resposta

x = 1   o u   x = 5 2

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Determine o ângulo entre os vetores. (Encontre inicialmente uma expressão exata e depois aproxime o valor até a precisão de um grau.) a =- 8,6b =7 ,- 3
Determine a . b para | a | = 3 e | b | = sqrt(6) , e o ângulo entre a eb é 45 °
Determine a * b para a =5,0 , - 2 eb =3 , - 1,10
Determine a * b para a =5,0 , - 2 e b =3 , - 1,10
Determine a * b para a =(1)/(2) , 4 e b =- 8 , - 3