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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 143

Sejam E : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 uma elipse e H : x 2 / m 2 - y 2 / n 2 = 1 uma hipérbole confocais, isto é, mesmos focos. Prove que:

  1. E ∩ H contém exatamente quatro pontos;
  2. Em cada ponto T da intersecção E ∩ H , as duas curvas se interceptam ortogonalmente, isto é, as retas tangentes a elas em T são perpendiculares.

Passo 1

  1. Como E e H são confocais, segue que

    c 2 = a 2 - b 2 = m 2 + n 2 ∴ a 2 - b 2 = m 2 + n 2 ∴ a 2 - m 2 = b 2 + n 2

    Multiplicando a equação da elipse por 1 / n 2 e a equação da hipérbole por 1 / b 2 , temos

    x 2 n 2 a 2 + y 2 b 2 n 2 = 1 n 2

    x 2 m 2 b 2 - y 2 b 2 n 2 = 1 b 2

    Somando as duas equações,

    x 2 1 n 2 a 2 + 1 m 2 b 2 = 1 n 2 + 1 b 2

    x 2 b 2 m 2 + n 2 a 2 a 2 b 2 m 2 n 2 = b 2 + n 2 b 2 n 2 ∴ x 2 = b 2 + n 2 a 2 m 2 b 2 m 2 + n 2 a 2 ⟹ x = ± a m b 2 + n 2 b 2 m 2 + a 2 n 2

    Da mesma forma, encontramos que

    y = ± b n   a 2 - m 2 b 2 m 2 + a 2 n 2

    Assim, notamos que há 4 pontos de intersecção: x , y ; - x ,   y ; x , - y ; - x , - y .

    Passo 2

Vamos calcular os coeficientes angulares das retas tangentes á elipse ( m e ) e à hipérbole ( m h ) em pontos genéricos. Para tal, vamos derivar implicitamente a equação de cada curva:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ⟹ 2 x a 2 + 2 y b 2 d y d x = 0 ∴ d y d x = - b 2 a 2 x y ⟹ m e = - b 2 a 2 x y

x 2 m 2 - y 2 n 2 = 1 ⟹ 2 x m 2 - 2 y n 2 d y d x = 0 ∴ d y d x = - n 2 m 2 x y ⟹ m h = n 2 m 2 x y

Passo 2

Sabemos que se as retas forem perpendiculares, então o produto dos coeficientes angulares deve ser igual a - 1 . Portanto, vamos calcular m e ⋅ m h :

m e ⋅ m h = - b 2 n 2 a 2 m 2 ⋅ x 2 y 2

Mas já encontramos os valores de x e y no item anterior:

m e ⋅ m h = - b 2 n 2 a 2 m 2 ⋅ a 2 m 2 ⋅ b 2 + n 2 b 2 m 2 + a 2 n 2 ⋅ b 2 m 2 + a 2 n 2 b 2 n 2 a 2 - m 2

Porém, sabemos que b 2 + n 2 = a 2 - m 2 . Portanto, vemos que todas as parcelas do produto se cancelam. Ficamos apenas com:

m e ⋅ m h = - 1

que é justamente o que queríamos provar!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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