De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:

−4x + 2y − 4z = 6, 3x + y + 2z = 2, 2x − y + 2z = −3

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra estudar a posição relativa dos planos, vamos ver o determinante da matriz formada pelos vetores normais.

N 1 = - 4,2 , - 4 ,     N 2 = 3,1 , 2 ,     N 3 = ( 2 , - 1,2 )

d e t - 4 2 - 4 3 1 2 2 - 1 2 = - 4 1 2 - 1 2 - 2 3 2 2 2 - 4 3 1 2 - 1

= - 4 2 + 2 - 2 6 - 4 - 4 ( - 3 - 2 )

= - 4 4 - 2 2 - 4 ( - 5 )

= - 16 - 4 + 20

= 0

Passo 2

Como o determinante deu zero, os planos não se interceptam em um único ponto.

Vamos analisar os vetores então:

N 1 = - 4,2 , - 4 ,     N 2 = 3,1 , 2 ,     N 3 = ( 2 , - 1,2 )

Veja que os vetores N 1   e   N 3   são múltiplos, o que mostra que o primeiro e o terceiro plano são paralelos ou concidentes.

Analisando as equações:

- 4 x + 2 y - 4 z = 6

2 x - y + 2 z = - 3

Veja que as equações são proporcionais (se multiplicar a segunda por -2, dá a primeira). Isso quer dizer que os planos são coincidentes.

Já o vetor N 2 não é múltiplo, então o segundo plano não é paralelo aos outros, e corta os outros dois.

Resposta

O primeiro e terceiro plano são coincidentes e o segundo intercepta os dois.

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