Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 21
Seja, um tetraedro, e . Calcule a razão entre os volumes dos tetraedros e
Passo 1
O bizu nessa questão é utilizar o produto misto, com ele poderemos facilmente calcular a razão entre os volumes dos tetraedros formados.
Os vetores fornecidos pelo enunciado são:
Passo 2
Colocando os três vetores em função do ponto , temos:
Passo 3
Vamos chamar cada vetor por uma letrinha para facilitar a visualização:
Onde é o volume do tetraedro .
Passo 4
Portanto, os novos vetores do tetraedro escritos em função das letras a, b, c são dados por:
Passo 5
Calculando o produto misto dos vetores escontrados no passo anterior, temos:
Passo 6
Por fim, calculando a razão entre os volumes:
Resposta
Logo, a razão entre os tetraedros é .
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Sejam ( a → ,b → ,c → ) uma base positiva, u → = a → ∧ b → ,v → = ( a → + b → ) ∧ c → e w → = ( b → ∧ a → ) ∧ a → .(a) Mostre que u → ,v → , w → é base e determine sua orientação.
Seja ( e 1 → ,e 2 → ,e 3 → ) uma base.(a) Prove que, para todo vetor x → , vale a igualdade x → = x → , e 2 → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 1 → + e 1 → , x → , e 3 → e 1 → + e 2 → + e 3 → e 2 → + e
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (b) E é LD⇔ F é LD;
Dados u → ,v → e w → , sejam E = u → , v → , w → e F = u → ∧ v → ,v → ∧ w → ,w → ∧ u → . Prove que (d) se E é base, então F é positiva. (Qual é, neste caso, o determinante de M E F ?)
(b) Calcule a mediana angular entre D E → ∧ D R →eD F → .