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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 20

Sendo [vec u , vec v , vec w] = 6 , calcule [2 vec u - 3 vec v + vec w , - vec u + vec v - vec w , v - 3 vec w] .

Passo 1

O enunciado nos diz que o produto misto é trilinear e que [vec u , vec v , vec w] = 6 , devemos calcular o valor da seguinte expressão:

[2 vec u - 3 vec v + vec w , - vec u + vec v - vec w , v - 3 vec w]

Bora lá, mão na massa!

Passo 2

Vamos chamar cada componente da expressão por uma letrinha, da seguinte forma:

a = 2 vec u - 3 vec v + vec w

b = - vec u + vec v

c = v - 3 vec w

Ou seja, para nos ajudarmos, trabalharemos com o produto misto equivalente:

[2 vec u - 3 vec v + vec w , - vec u + vec v - vec w , v - 3 vec w] = [a , b , c]

Passo 3

Pelo princípio da trilinearidade, podemos somar a um vetor uma combinação linear de outros dois:

[a , b , c] = [a , b , c + a + 2 b]

= [a , b , vec v - 3 vec w + (2 vec u - 3 vec v + vec w) + 2 (- vec u + vec v - vec w)]

= [a , b , vec v - 3 vec w + 2 vec u - 3 vec v + vec w - 2 vec u + 2 vec v - 2 vec w]

= [ a , b , - vec 4 vec w ]

= 4 [ a , b , - vec w ]

Passo 4

Agora, vamos somar ao primeiro vetor uma combinação linear dos outros dois:

[a , b , c] = 4 [ a , b , - vec w ]

= 4 [ a + 3 b - 2 (- vec w) , b , - vec w ]

= 4 [2 vec u - 3 vec v + vec w + 3 (- vec u + vec v - vec w) + 2 vec w , b , - vec w]

= 4 [2 vec u - 3 vec v + vec w - 3 vec u + 3 vec v - 3 vec w + 2 vec w , b , - vec w]

= 4 [ - vec u , b , - vec w ]

Passo 5

Por fim, vamos somar ao segundo vetor uma combinação dos outros dois:

[a , b , c] = 4 [ - vec u , b , - vec w ]

= 4 [ - vec u , b + vec u + vec w , - vec w ]

= 4 [- vec u , (- vec u + vec v - vec w) + vec u + vec w , - vec w]

= 4 [- vec u , vec v , - vec w]

Passo 6

Ainda usando a trilinearidade, temos:

[a , b , c] = 4 [ - vec u , vec v , - vec w ]

= - 4 [ - vec u , vec v , vec w ]

= 4 [vec u , vec v , vec w]

= 4 ( 6 )

= 24

Resposta

[2 vec u - 3 vec v + vec w , - vec u + vec v - vec w , v - 3 vec w] = 24

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