Seja AA′ uma diagonal de um cubo e sejam B, C e D os vértices desse cubo que estão mais próximos de A. Mostre que AA′ é perpendicular a BC e BD e conclua que AA′ é perpendicular ao plano BCD. Mostre ainda que se AA′ corta o plano BCD no ponto P então d A ,   P = 1 3 d ( A ,   A '   ) .

Passo 1

Da condição de perpendicularismo, para dois segmentos serem perpendiculares eles devem apresentar um ângulo de 90 graus entre eles, isto é,

d A , A ' 2 = d B , C 2 + d B , D 2

d A , A ' 2 = d B , C 2 + d A , B 2 + d A , D 2

Em um cubo todas as arestas, isto é, d , são iguais. Além disso, a diagonal de um cubo vale a aresta multiplicado por raiz de 3.

d 3 2 = d 2 + d 2 + d 2

3 d = 3 d ,   c . q . d .  

Dessa forma AA’ é perpendicular ao plano BCD

Passo 2

Tomando um ponto P no plano BCD, temos que se AA” é perpendicular ao plano, então é perpendicular a intersecção com o plano, assim:

( 3 d A , P ) 2 = d A , B 2 + d A , C 2 + d A , D 2

( 3 d A , P ) 2 = d 2 + d 2 + d 2

d A , P = d 3 3

d A , P = 1 3 d ( A , A ' )

Resposta

Demonstração.

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