Seja AA′ uma diagonal de um cubo e sejam B, C e D os vértices desse cubo que estão mais próximos de A. Mostre que AA′ é perpendicular a BC e BD e conclua que AA′ é perpendicular ao plano BCD. Mostre ainda que se AA′ corta o plano BCD no ponto P então
Passo 1
Da condição de perpendicularismo, para dois segmentos serem perpendiculares eles devem apresentar um ângulo de 90 graus entre eles, isto é,
Em um cubo todas as arestas, isto é, , são iguais. Além disso, a diagonal de um cubo vale a aresta multiplicado por raiz de 3.
Dessa forma AA’ é perpendicular ao plano BCD
Passo 2
Tomando um ponto no plano BCD, temos que se AA” é perpendicular ao plano, então é perpendicular a intersecção com o plano, assim:
Resposta
Demonstração.