No triângulo A B C , A H é a altura relativa ao vértice A . Prove que B C → ∧ ( A B → ∧ A C → ) é paralelo a A H .

Passo 1

Dado o triângulo A B C , para provarmos que o vetor A H → é paralelo a B C → ∧ ( A B → ∧ A C → ) , basta provarmos que o produto vetorial:

A H → ∧ B C → ∧ ( A B → ∧ A C → )

é NULO!!!

Passo 2

No exercício 11-50, item b, provamos que a seguinte igualdade é válida:

u → ∧ v → ∧ w → ∧ t → = u → . w → ∧ t → v → ∧ w → - u → . v → w → ∧ t →

Para o nosso exercício, vamos definir:

u → = A H →

v → = B C →

w → = A B →

t → = A C →

Logo, escrevendo a nossa igualdade em função dos vetores A H → ,   B C → ,   A B → e A C → , temos:

A H → ∧ B C → ∧ A B → ∧ A C → = A H → . A B → ∧ A C → B C → ∧ A B → - A H → . B C → A B → ∧ A C →

Passo 3

Mas notem que o produto escalar A H → . ( A B → ∧ A C → ) é nulo, pois os vetores A H → e ( A B → ∧ A C → ) são perpendiculares. Por sua vez, o produto escalar A H → . B C → também é nulo, pois A H → é a altura referente ao vértice A , e, portanto, perpendicular a B C → . Assim, temos:

A H → ∧ B C → ∧ A B → ∧ A C → = A H → . A B → ∧ A C → B C → ∧ A B → - A H → . B C → A B → ∧ A C →

                            = 0 B C → ∧ A B → - 0 A B → ∧ A C →

= 0                                                                    

Com isso, provamos a paralelidade dos vetores A H → e B C → ∧ A B → ∧ A C → 😉.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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