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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 12

Dados os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) , determinar:

a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u → e v → ;

b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u → e v → .

Passo 1

Neste problema, sabendo os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) , no item a), precisamos determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u → e v → . Já no item b), um vetor de módulo 5, certo?

Então, vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Dados os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) . A primeira coisa que precisamos fazer é encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a u → e v → . Depois, nós transformamos esse carinha em um vetor unitário, beleza?

Guardem isso no coração! Podemos encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a outros dois, através do produto vetorial entre eles. Trazendo para o nosso problema, vamos encontrar o vetor simultaneamente ortogonal a u → e v   → através do produto vetorial entre eles. Temos, então:

u → × v → = i → j → k → 1 1 0 - 1 1 2 = 2 i → + k → - 2 i → - k → = ( 2 i → - 2 j → + 2 k → )

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor unitário de u → × v → utilizando a seguinte fórmula:

u → × v → u → × v →

O produto vetorial entre u → e v → nós já temos, basta calcularmos u → × v → e substituir na fórmula, certo?

Calculando u → × v → , temos:

u → × v → = 2 2 + - 2 2 + 2 2 = 12 = 2 3

Por fim, para encerrarmos com chave de ouro, substituindo na fórmula, obtemos:

u → × v → u → × v → = 2 i → - 2 j → + 2 k → 2 3

u → × v → u → × v → = 2 i → 2 3 - 2 j → 2 3 + 2 k → 2 3

u → × v → u → × v → = i → 3 - j → 3 + k → 3

Portanto, o vetor unitário simultaneamente ortogonal à u → e v → é 1 3 , - 1 3 , 1 3 ou o oposto a ele - 1 3 ,   1 3 , - 1 3 .

Passo 4

b) um vetor de módulo 5 simultaneamente ortogonal a u → e v → .

Para obter um vetor de módulo 5 que seja simultaneamente ortogonal a u → e v → , basta multiplicar por 5 o vetor unitário encontrado e o seu oposto:

5 . 1 3 , - 1 3 , 1 3 = 5 3 , - 5 3 , 5 3

5 . - 1 3 , 1 3 , - 1 3 = - 5 3 , 5 3 , - 5 3

Portanto, o vetor será 5 3 , - 5 3 , 5 3 ou - 5 3 , 5 3 , - 5 3 . 😉

Resposta

a) 1 3 , - 1 3 , 1 3 ou - 1 3 , 1 3 , - 1 3

b) 5 3 , - 5 3 , 5 3 ou - 5 3 , 5 3 , - 5 3

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