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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 5.Problemas propostos - Ex. 24b

Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é , simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos:

b )   A 0,0 , 0 ,   r 1 : x 2 = y 1 = z - 3 2 e r 2 : x = 3 t y = - t + 1 z = 2

Passo 1

Para escrevermos uma reta, devemos saber que precisamos sempre de duas coisinhas bem simples hahaha, um ponto e um vetor. Assim já temos nosso ponto, mas cadê nosso vetor?

O problema quer que nossa reta seja ortogonal a as ruas retas dada acima. Deste caso temos que o vetor que queremos também tem que ser ortogonal aos dois vetores das retas r 1 e r 2 . Assim devemos saber como identificar nossos vetores diretores.

Passo 2

A primeira reta

x 2 = y 1 = z - 3 2

que podemos apenas olhando para ela escrever que

x = 2 y

E

y = z - 3 2 → z = 2 y + 3

Assim temos que um vetor dado por

x , y , z = ( 2 y , y , 2 y + 3 )

Ou seja, (pegamos o que está na frente da letrinha)

v 1 = 2,1 , 2

Para a segunda reta

r 2 : x = 3 t y = - t + 1 z = 2

E pegando o que está na frente da letra:

v 2 = 3 , - 1,2

Passo 3

Tendo os dois vetores diretores de cada reta, como achar o nosso vetor, que é ortogonal aos dois vetores? Uma forma seria calcular o produto vetorial entre ele, já que o produto vetorial entre dois vetores, geram um vetor ortogonal ao outros dois, ou seja

v → = i → j → k → 2 1 2 3 - 1 0 = 2 i → + 6 j → - 5 k → = ( 2,6 , - 5 )

Assim podemos finalmente escrever que nossa reta é definida por

x , y , z = A + v λ

x , y , z = 0,0 , 0 + 2,6 , - 5 λ

Que leva na equação paramétrica

x = 2 λ y = 6 λ z = - 5 λ

Resposta

x = 2 λ y = 6 λ z = - 5 λ

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