Dados V 1 = ( 2,1 , 3 ) e V 2 = ( 2,6 , 4 ) :(a) Os vetores V 1 e V 2 geram o R 3 ? Justifique.(b) Seja V 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre V 3 , para que V 1 , V 2 , V 3 seja uma base de R 3 ?(c)Encontre um vetor V 3 que complete junto com V 1 e V 2 uma base do R 3 .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 5

Dados e :

(a) Os vetores e geram o ? Justifique.

(b) Seja um terceiro vetor do . Quais as condições sobre , para que seja uma base de ?

(c)Encontre um vetor que complete junto com e uma base do .

Passo 1

Tudo bem, galera? Então, vamos lá resolver mais uma questão!

(a) Os vetores e não geram o porque tem dimensão e dois vetores podem gerar, no máximo, um subespaço de dimensão . Além disso, é possível encontrar vetores em que não sejam combinação de e (Dá uma olhadinha no item (b)). Então, precisamos de um terceiro vetor para gerar .

Passo 2

(b) Olha só, para que seja uma base de precisamos que sejam L.I. Então, não podemos ter algo do tipo

Em outras palavras, não pode ser combinação linear de e .

Passo 3

Então, se , temos que ter

Então, basta a gente escolher , por exemplo. Temos três vetores que são L.I., e tem dimensão 3, então essa é uma base de .

Resposta

Veja a resolução acima.

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Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em queb) A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2

Sejam V_1 = (4 , 2 , - 3) , V_2 = ( 2 , 1 , - 2 ) e V_3 = ( - 2 , - 1 , 0 ) .Mostre que V_1 , V_2 e V_3 são L.D.

Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0