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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 5

Dados V 1 = ( 2,1 , 3 ) e V 2 = ( 2,6 , 4 ) :

(a) Os vetores V 1 e V 2 geram o R 3 ? Justifique.

(b) Seja V 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre V 3 , para que V 1 , V 2 , V 3 seja uma base de R 3 ?

(c)Encontre um vetor V 3 que complete junto com V 1 e V 2 uma base do R 3 .

Passo 1

Tudo bem, galera? Então, vamos lá resolver mais uma questão!

(a) Os vetores V 1 e V 2 não geram o R 3 porque R 3 tem dimensão 3 e dois vetores podem gerar, no máximo, um subespaço de dimensão 2 . Além disso, é possível encontrar vetores em R 3 que não sejam combinação de V 1 e V 2 (Dá uma olhadinha no item (b)). Então, precisamos de um terceiro vetor para gerar R 3 .

Passo 2

(b) Olha só, para que V 1 , V 2 , V 3 seja uma base de R 3 precisamos que V 1 , V 2 , V 3 sejam L.I. Então, não podemos ter algo do tipo

V 3 = α V 1 + β V 2

Em outras palavras, V 3 não pode ser combinação linear de V 1 e V 2 .

Passo 3

(c) Como nós já discutimos, V 3 não pode ser combinação linear de V 1 e V 2 :

V 3 ≠ α V 1 + β V 2 = ( 2 α + 2 β , α + 6 β , 3 α + 4 β )

Então, se α = β = 1 , temos que ter

V 3 ≠ ( 4,7 , 7 )

Então, basta a gente escolher V 3 = ( 7,7 , 7 ) , por exemplo. Temos três vetores V 1 , V 2 , V 3 que são L.I., e R 3 tem dimensão 3, então essa é uma base de R 3 .

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0, em queb) A = 1 1 2 - 1 2 3 6 - 2 - 2 1 2 2
Sejam V_1 = (4 , 2 , - 3) , V_2 = ( 2 , 1 , - 2 ) e V_3 = ( - 2 , - 1 , 0 ) .Mostre que V_1 , V_2 e V_3 são L.D.
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:e) A =2 3 0
Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas: d )A =- 1