Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:

e) A =   2 3 0 0 2 0 0 0 2

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão!!

Vamos escrever a matriz A - λ I n , de forma que:

A - λ I n = 2 -   λ 3 0 0 2 -   λ 0 0 0 2 -   λ

Passo 2

Agora, temos que calcular o determinante dessa nossa matriz:

det ⁡ 2 -   λ 3 0 0 2 -   λ 0 0 0 2 -   λ

det = 6 λ 2 - λ 3 - 12 λ + 8

Igualando o determinante a zero:

6 λ 2 - λ 3 - 12 λ + 8 = 0

Reescrevendo:

- ( λ - 2 ) 3 = 0

λ = 2

Passo 3

Substituindo λ = 2 na matriz A - λ I n :

0 3 0 0 0 0 0 0 0

Montando uma matriz aumentada para o sistema (A - λ I n )X = 0:

0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Assim, temos como resultado:

3 x 2 = 0

Assim, a solução do sistema é:

X = a 0 b

Nesse sentido, podemos dizer que para qualquer elemento:

a(1, 0, 0) + b(0, 0, 1)

Resposta

λ = 2

V1 = (1, 0, 0) e V2 = (0, 0, 1)

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