Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 20
Mostre que a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida é igual a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas.
Passo 1
Galera, para conseguir entender o que essa questão precisa, vamos relembrar da definição 1.6 do livro:
Uma matriz na forma escalonada reduzida satisfaz:
(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas não nulas;
(b)O pivô (1º elemento não nulo de uma linha) de cada linha não nula é igual à 1;
(c)O pivô de cada linha não nula ocorre à direita do pivô da linha anterior.
(d)Se uma coluna contém um pivô, então todos os seus outros elementos são iguais a zero.
Resumindo uma matriz escalonada reduzida tem a forma:
Lembrando que isso é só um exemplo. O formato dessa matriz pode ser um pouco diferente, contanto que as condições acima sejam satisfeitas.
Passo 2
Vamos supor que uma matriz tem linhas não-nulas que são escritas como
Temos termos e podemos escrever muitos vetores do tipo como combinação linear desses vetores. Então, o subespaço gerado por essas linhas tem dimensão igual a . No nosso exemplo, temos colunas não nulas, mas as duas primeiras colunas são proporcionais entre si. Então temos colunas que são linearmente independentes e que podem ser usadas como base para esse subespaço. Assim, a dimensão do subespaço é igual a .
Resposta
Veja a resolução acima.