Seja m   uma matriz 3 x 3 cujas as linhas u, v e w são, duas a duas, ortogonais. Calcule o produto m . m T e parti daí, conclua que d e t . m = | u | . | v | . | w | .

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Vamos começar lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto entre ambos é nulo.

Então propondo uma matriz m cujas as linhas são ortogonais,

u = ( 1,0 , 0 )

v = ( 0,1 , 0 )

w = ( 0,0 , 1 )

E a matriz m será,

m = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

E sua matriz transposta é ,

m T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Agora, vamos para o próximo passo.

Passo 2

O próximo passo é calcular o produto de m . m T

m . m T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

m . m T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Passo 3

Como no passo anterior esta concluído, vamos concluir a afirmação dada na questão, d e t . m = | u | . | v | . | w | .

E para isso, vamos calcular os módulos dos vetores proposto no passo 1,

u = 1 2 + 0 2 + 0 2 = 1

v = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

w = 0 2 + 0 2 + 1 = 1

Então,

u . v . w = 1.1 . 1 = 1

E o determinante de m é,

d e t . m = d e t 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1.1 . 1 = 1

Resposta

Então, podemos concluir e provar a seguinte igualdade,

d e t . m = u . v . w = 1

E que o produto de m . m T é igual à uma matriz identidade,

m . m T = 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

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