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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 4

Sejam m e n matrizes do tipo 3   x   2 e 2 x   3 respectivamente. Forme as matrizes   m -   e n -   , ambas 3x3 acrescentando uma terceira coluna de zeros a m e uma terceira linha de zeros a n. mostre que   m . n = m . - n -   . Conclua que d e t   m n   = 0 .

Passo 1

Fala galerinha , vamos resolver mais uma questão do nosso livro de Geometria analítica e Álgebra Linear !!!

Vamos começar montando as duas matrizes solicitas na questão,

m = a 1 a 2 a 3         b 1 b 2 b 3

n = a 1 ' b 1 ' c 1 ' a 2 ' b 2 ' c 1 '

E as matrizes m -   e n -   seram,

m - = a 1 b 1 0 a 2 b 2 0 a 3 b 3 0

n -   = a 1 ' b 1 ' c 1 ' a 2 b 2 c 2 ' 0 0 0

Galera, vamos para o próximo passo e prova as situações dadas na questão.

Passo 2

O próximo passo é calcular o produto de m . n = m - . n -  

m . n = a 1 a 2 a 3         b 1 b 2 b 3 .   a 1 ' b 1 ' c 1 ' a 2 ' b 2 ' c 1 '

m . n = a 1 a 1 ' + b 1 a 2 ' a 1 b 1 ' + b 1 b 2 ' a 1 c 1 ' + b 1 c 2 ' a 2 a 1 ' + b 2 a 2 ' a 2 b 1 ' + b 2 b ' a 2 c 1 ' + b 2 c 2 ' a 3 a 1 ' + b 3 a 2 ' a 3 b 1 ' + a 3 b 2 ' a 3 c 1 ' + b c 2 '

Agora calculado o produto de m - . n -

m - . n - = a 1 b 1 0 a 2 b 2 0 a 3 b 3 0 a 1 ' b 1 ' c 1 ' a 2 b 2 c 2 ' 0 0 0

m - . n - = a 1 a 1 ' + b 1 a 2 ' + 0 a 1 b 1 ' + b 1 b 2 ' + 0 a 1 c 1 ' + b 1 c 2 ' + 0 a 2 a 1 ' + b 2 a 2 ' + 0 a 2 b 1 ' + b 2 b ' + 0 a 2 c 1 ' + b 2 c 2 ' + 0 a 3 a 1 ' + b 3 a 2 ' + 0 a 3 b 1 ' + a 3 b 2 ' + 0 a 3 c 1 ' + b c 2 ' + 0

No próximo passo. Vamos provar a situação d e t   m n   = 0 .

Passo 3

Vamos encontrar agora o d e t   m n   = 0 .

d e t   m n = d e t a 1 a 1 ' + b 1 a 2 ' a 1 b 1 ' + b 1 b 2 ' a 1 c 1 ' + b 1 c 2 ' a 2 a 1 ' + b 2 a 2 ' a 2 b 1 ' + b 2 b ' a 2 c 1 ' + b 2 c 2 ' a 3 a 1 ' + b 3 a 2 ' a 3 b 1 ' + a 3 b 2 ' a 3 c 1 ' + b c 2 '

Para facilitar os calulos, vamos propor uma situação onde todos os coeficientes são uma constate equivalente a 1, ou seja,

a 1 = a 2 = a 3 = b 1 = b 2 = b 3 = c 1 = c 2 = a 1 ' = a 2 ' = a 3 ' = b 1 ' = b 2 ' = b 3 ' = c 1 ' = c 2 ' = 1

Assim, reescrevendo a matriz, ficara,

d e t   m n = d e t 1 1 1 1 1 1 1 1 1

d e t   m n = 1 + 1 + 1 - 1 - 1 - 1 = 0

Mostrando assim, que o determinante é igual a zero.

Resposta

Então, podemos concluir e provar a seguinte igualdade,

m . n = m - . n -  

d e t   m n = 0

Espero que ajudem nos estudos, até próxima

Exercícios de Livros Relacionados

b) Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i =α A k + β A l , para α e β escalares e i ≠ k ,l , então det(A) = 0.
Mostre que se uma linha A i de uma matriz A = ( a i j ) n x n é tal que A i = ∑ k ≠ i α k A k , para α 1 , … ,α k escalares, então det(A) = 0.
Mostre que se uma matriz A =( a i j ) n x n é triangular superior, (isto é, os elementos situados abaixo da diagonal são iguais a zero) então det ⁡ ( A ) =a 11 a 22 … a n n .
Seja A = ( a i j ) 3 x 3 tal que det(A) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir: a 11 a 12 a 13 + a 12 a 21 a 22 a 23 + a 22 a 31 a 32 a 33 + a 32
Mostre que se A = a b c d , então det(A) = 0 se, e somente se, uma linha é múltiplo escalar da outra. E se A for uma matriz nxn?