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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 17.Exercício - Ex. 12

Decomponha o vetor u → = ( - 3 ,   4 ,   - 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano de equação vetorial X = 1 ,   - 2 ,   0 + λ   - 1 ,   0 ,   1 + μ   ( 0 ,   0 ,   - 1 ) .

Passo 1

O problema quer que você decomponha u → = ( - 3 ,   4 ,   - 5 ) em duas parcelas, uma paralela e outra ortogonal ao plano dado. Para isso, o primeiro passo é achar os vetores do plano:

u → = - 1 ,   0 ,   1             e           v → = 0 ,   0 ,   - 1

Com eles achamos o vetor normal:

n → = u → ∧ v → = i → j → k → - 1 0 1 0 0 - 1 = 0 - 0 i → + 0 - 1 j → + 0 - 0 k → = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Por simplicidade, vamos adotar

n → = ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Para achar a componente de u → que é ortogonal ao plano, basta achar sua projeção sobre n → :

u → ⊥ = p r o j n →   u → = u → ⋅ n → n → 2   n → = - 3 ,   4 ,   - 5 ⋅ ( 0 ,   1 ,   0 ) 1 2   0 ,   1 ,   0 = ( 0 ,   4 ,   0 )

Passo 3

Como u → = u → ⊥ + u → ∥ , temos que

u → ∥ = u → - u → ⊥

Portanto,

u → ∥ = - 3 ,   4 ,   - 5 - 0 ,   4 ,   0 = ( - 3 ,   0 ,   - 5 )

Resposta

u → ⊥ = ( 0 ,   4 ,   0 )

u → ∥ = ( - 3 ,   0 ,   - 5 )

x + y - z - 1 = 0

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