Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 3.2 - Ex. 2
Seja uma transformação linear dada por .
(a) Encontre uma base para o núcleo de .
(b) Encontre uma base para a imagem de .
(c) Descreva geometricamente o núcleo e a imagem de .
Passo 1
E aí, pessoal! Um pouco confusos com essa questão?
Bom, vamos começar revisando os conceitos e respondendo aos itens um por um:
O núcleo da transformação é dado pelo conjunto . Ou seja, quando aplicamos a alguns vetores, às vezes temos o vetor nulo como resultado. Quando juntamos todos os vetores com essa propriedade, temos um conjunto chamado núcleo da transformação.
(a)Então, precisamos basicamente descobrir quais valores de vão nos dar . Nesse caso, vemos que e . Então, o núcleo da transformação é formado por todos os vetores do tipo . Então, só precisamos de um vetor para essa base, que é o vetor porque . Sacou?
Passo 2
A imagem da transformação é dado pelo conjunto . Ou seja, a imagem é simplesmente o conjunto de vetores que a gente obtém depois de aplicar a transformação linear. Nesse caso, o enunciado já nos deu a resposta. Como , então a imagem é formada por todos os vetores do tipo . Nesse caso, precisamos de dois vetores para gerar a imagem. Olha só:
Então, a base que gera a imagem são os vetores .
Passo 3
(c)A partir de obtemos todos os vetores do tipo , inclusive o vetor nulo . Então, o núcleo de representa uma reta que passa pela origem e tem vetor diretor . Podemos escrever qualquer vetor do plano gerado pelos vetores como combinação linear desses dois vetores, inclusive o vetor nulo. Então, a imagem de representa um plano que passa pela origem e é paralelo aos vetores .
Resposta
Veja a resolução acima.