Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.9 - Ex. 22

Definimos as projeções ortogonais de R 3 sobre os eixos x , y e z , respectivamente, por:

T 1 x ,   y ,   z =   x ,   0 ,   0 ,     T 2 x ,   y ,   z =   0 ,   y ,   0 ,     T 3 ( x ,   y ,   z )   =   ( 0 ,   0 ,   z )

  1. Mostre que as projeções ortogonais sobre os eixos coordenados são operadores matriciais e encontre suas matrizes canônicas.
  2. Mostre que se T   :   R 3   →   R 3 for uma projeção ortogonal sobre um dos eixos coordenados, então, dado qualquer vetor em R 3 , os vetores T   ( x ) e x   -   T   ( x ) são ortogonais.

Passo 1

  1. Primeiro vamos denotar um vetor v = ( a , b , c ) , sendo   T 1 x ,   y ,   z =   x ,   0 ,   0 a projeção canônica sobre o eixo x , podemos transformar ela em matriz, assim temos.

    1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ a b c = ( a ,   0 ,   0 )

    Logo a matriz   1 0 0 0 0 0 0 0 0 é a matriz canônica de projeção sobre o eixo x .

    Analogamente encontramos as demais projeções sobre os demais eixos.

    P y = 0 0 0 0 1 0 0 0 0

    P z = 0 0 0 0 0 0 0 0 1

    Passo 2

  2. Sendo x = ( a ,   b ,   c ) e T ( x ) a projeção sobre o eixo y , temos:

    T x = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⋅ a b c = ( 0 ,   b ,   0 )

    Então x   -   T   ( x ) será:

    a ,   b ,   c - 0 ,   b ,   0 = ( a ,   0 ,   c )

    Agora temos que provar que T x e x - T ( x ) são ortogonais, então vamos fazer o produto das matrizes.

    0 0 0 0 b 0 0 0 0 ⋅ a 0 0 0 0 0 0 0 c = 0

    Logo T x e x - T ( x ) são ortogonais.

    Tendo em vista que sempre será um produto do gênero a ,   b ,   c ⋅ ( a - a , b - b , c - c ) só variando a coordenada não nula de acordo com a projeção   T x , logo   T x e x - T ( x ) , sempre serão ortogonais.

    Passo 3

Sendo x = ( a ,   b ,   c ) e T ( x ) a projeção sobre o eixo x , temos:

T x = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ a b c = ( a ,   0 ,   0 )

Então x   -   T   ( x ) será:

a ,   b ,   c - a ,   0 ,   0 = ( 0 ,   b ,   c )

Agora temos que provar que T x e x - T ( x ) são ortogonais, então vamos fazer o produto das matrizes.

a 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋅ 0 0 0 0 b 0 0 0 c = 0

Logo T x e x - T ( x ) são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada parte, encontre a matriz 2×2 que comprime ou expande.Por um fator k = 1 3 em y Por um fator k = 6 em x
Em cada parte, encontre a matriz canônica do operador matricialdescrito pela figura.
Em cada parte, use inversão matricial para mostrar a afirmação.A transformação inversa da reflexão na reta y=x é a reflexão na reta y=x .A transformação inversa de uma compressão na direção de um eixo
Em cada parte, encontre uma única matriz 2×2 que efetue a sucessão de operações indicadas.A reflexão no eixo y , seguida da expansão de fator 5 na direção x , seguida pela reflexão na reta y =x .A rot
Em cada parte, descreva o efeito geométrico da multiplicação por A . 3 0 0 1 1 0 0 - 5 1 4 0 1