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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 43

Demonstre a Lei dos senos, segundo a qual, em qualquer triângulo, são iguais as razões entre os senos dos ângulos internos e as medidas dos respectivos lados opostos.

Passo 1

O exercício quer que demonstremos a Lei dos Senos. Para isso, considere o triângulo:

A Lei dos senos diz que

A C → s e n   B ^ = A B → s e n   C ^

Para provar isso, usamos o fato de a área do trângulo ser dada por

A A B C = 1 2   A B → ∧ A C → = 1 2   A B → ∧ B C → = 1 2   B C → ∧ A C →

Assim,

A B → ∧ A C → = A B → ∧ B C → = B C → ∧ A C →

Passo 2

Olhando para a segunda igualdade, temos que

A B → ∧ B C → = B C → ∧ A C → ⇒ A B → B C →   s e n   B ^ = B C → A C →   s e n   C ^

Assim

A B →   s e n   B ^ = A C →   s e n   C ^ ⟹ A C → s e n   B ^ = A B → s e n   C ^

Usando a outra igualdade, obtemos:

A C → s e n   B ^ = A B → s e n   C ^ = B C → s e n   A ^

Resposta

Demonstração.

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