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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 41

A B C é um triângulo, e P e Q são pontos tais que 3   A P → = A C → e 3   B Q → = 2   B C → . Calcule a razão entre as áreas dos triângulos B P Q e A B C .

Passo 1

Primeiro vamos desenha o triângulo A B C :

A área do triângulo A B C é dada por

A A B C = 1 2 B A → ∧ B C →

Já a área do triângulo B P Q é

A B P Q = 1 2   B P → ∧ B Q →

Assim, a razão entre as áreas é

r = A B P Q A A B C = B P → ∧ B Q → B A → ∧ B C →

Passo 2

Vamos escrever   B P → e   B Q → em termos de   B A → e  B C → :

B P → = B A → + A P → = B A → + 1 3   A C → = B A → + 1 3   - B A → + B C → = 2 3   B A → + 1 3   B C →

Analogamente,

B Q → = 2 3   B C →

Assim,

B P → ∧ B Q → = 2 3   B A → + 1 3   B C → ∧ 2 3   B C → = 4 9   B A → ∧ B C →

Passo 3

Portanto,

r = B P → ∧ B Q → B A → ∧ B C → = 4 9   B A → ∧ B C → B A → ∧ B C →

Tirando o 4 / 9 para fora:

r = 4 9 ⋅ B A → ∧ B C → B A → ∧ B C → = 4 9

Resposta

4 9

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