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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 3

a) Prove que u → ,   v → ,   w → ≤ u → . v → . w → , quaisquer que sejam os vetores u → ,   v → e w → .

b) Prove que vale a igualdade no item (a) se, e somente se, algum dos vetores é nulo ou eles são dois a dois ortogonais.

c) Dê uma interpretação geométrica para os itens (a) e (b), em termos de volumes.

Passo 1

a) Seja θ o ângulo entre u → e v → e seja ϕ o ângulo entre u → ∧ v → e w → , da desigualdade temos que:

u → . v → . s e n θ . w → . cos ⁡ ϕ   ≤ u → . v → . w →

Como todo seno e todo cosseno são números entre 0 e 1, com certeza essa desigualdade é verdadeira, pois, do lado esquerdo, u → . v → . w → será multiplicado por valores entre 0 e 1, diminuindo assim o seu valor e sendo menor do que u → . v → . w → sozinhos.

Passo 2

b) No item anterior, chegamos na desigualdade:

u → . v → . s e n θ . w → . cos ⁡ ϕ   ≤ u → . v → . w →

Se um dos vetores for nulo, teremos:

0 ≤ 0

Ou seja, um caso em que vale a igualdade.

Já se os vetores forem dois a dois ortogonais, o ângulo θ é 90 ° e o ângulo ϕ , como u → ∧ v → é paralelo a w → , é 0 ° , então:

u → . v → . s e n 90 ° . w → . cos ⁡ 0 °   ≤ u → . v → . w →

u → . v → . 1 . w → . 1   ≤ u → . v → . w →

u → . v → . w → ≤ u → . v → . w →

E novamente valeu a igualdade :)

Passo 3

c) Tanto em u → ,   v → ,   w → como em u → . v → . w → estamos calculando o volume de paralelepípedos com arestas u → ,   v →   e   w → .

Porém, os ângulos entre essas arestas podem sem diferentes, obtendo um paralelepípedo mais tortão sabe? E isso diminui o volume dele, porque ele fica meio que mais “comprimido” quando os ângulos entre as arestas não são 90 ° .

O paralelepípedo de maior volume possível é aquele em que as arestas são ortogonais, ou seja, o cálculo do volume se dá apenas por u → . v → . w → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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