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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 5j

Dentre as seguintes função, verificar quais são lineares.

T :   R 2 → M 2 ,   2 ,     T x , y = 2 y 3 x - y x + 2 y

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a transformação é linear ou não. Aqui você deve lembrar que se uma transformação é linear, valem as seguintes propriedades:

T u + v = T u + T ( v )

T λ u = λ T ( u )

O primeiro passo é testar a primeira propriedade com u = ( a , b ) e v = ( c ,   d ) :

T u + v = T a + c ,   b + d = 2 b + 2 d 3 a + 3 c - b - d a + c + 2 b + 2 d

Separando em duas partes:

T u + v = 2 b 3 a - b a + 2 b + 2 d 3 c - d c + 2 d

Note que os termos da direita são exatamente T ( u ) e T ( v ) :

T u + v = T u + T ( v )

A primeira propriedade é satisfeita!!!

Passo 2

Agora vamos olhar para a segunda propriedade:

T λ u = T λ a , λ b = 2 λ b 3 λ a - λ b λ a + 2 λ b

Tirando o λ para fora:

T λ u = λ   2 b 3 a - b a + 2 b = λ T ( u )

Como as duas propriedades são satisfeitas, vemos que T é linear!

Resposta

Sim

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Seja T :R 2 → R 2 definida por: T = 1 3 - 1 5 Determinar os vetores u , v e w tais que:a) T u = u .b) T v = 2 v c) T w = ( 4 ,4 ) .
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x + 1 ,y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x - 3 y ,2 x + 5 y )
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