Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 36
Seja definida por:
Determinar os vetores , e tais que:
a) .
b)
c) .
Passo 1
O problema dá uma matriz de transformação e pede para encontrarmos vetores que satisfazem algumas relações.
No item (a), devemos achar tal que . Logo,
Assim,
Portanto,
Da primeira equação temos que . Desta forma, tiramos da segunda que . Portanto,
Passo 2
Para o item (b), chamando :
Logo,
Da primeira equação temos . Substituindo na segunda:
Portanto, esse sistema é indeterminado, de modo que
Logo,
Isso significa que existem infinitos vetores com essa propriedade (eles são todos paralelos ao vetor ).
Passo 3
Por fim, no item (c), queremos achar tal que . Assim, teremos
Portanto,
Somando as equações:
Portanto,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
Sejam u , v ∈ R 2 vetores tais que u , v é uma base do R 2 . Sendo F : R 2 → R n uma transformação linear, mostrar que uma das seguintes alternativas se verifica: F u , F v é LI; dim I m F = 1 I m F
Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W = U ⊕ V . Consideremos o espaço vetorial U × V cuja adição é u 1 , v 1 + u 2 , v 2 = u 1 + u 2 , v 1 + v 2 e cuja multiplicação por escalares é dada por
Determinar um operador linear do R 4 cujo núcleo é gerado por 1,1 , 0,0 e 0,0 , 1,0 .
Seja W = U ⊕ V . Consideremos os operadores lineares de W (projeções sobre U e V , respectivamente) dados por P 1 u + v = u e P 2 u + v = v , ∀ u + v ∈ W , com u ∈ U e v ∈ V . Definido por H : W → W p
Considere uma transformação linear T : U → V . Provar que, se o conjunto T u 1 , … , T u r é LI em V , então u 1 , … , u r é LI em U . Provar que, se T é injetora e u 1 , … , u r é LI em U , então T u