Determinar a transformação linear T : P_2 -> P_2 tal que T (1) = x , T (x) = 1 - x^2 e T (x^2) = x + 2 x^2 .

Passo 1

Bom, o problema fornece um operador linear no espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2 . Sabemos que

T (1) = x

T (x) = 1 - x^2

T (x^2) = x + 2 x^2

Queremos achar uma expressão para T ( a + b x + c x^2 ) . Usando as propriedades de linearidade:

T (a + b x + c x^2) = a T (1) + b T (x) + c T ( x^2 )

Passo 2

Usando as informações do enunciado:

T (a + b x + c x^2) = a x + b (1 - x^2) + c ( x + 2 x^2 )

Portanto,

T (a + b x + c x^2) = b + (a + c) x + (2 c - b) x^2

Resposta

T (a + b x + c x^2) = b + (a + c) x + (2 c - b) x^2

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