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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 4.8 - Ex. 11

Determinar a transformação linear T : P_2 -> P_2 tal que T (1) = x , T (x) = 1 - x^2 e T (x^2) = x + 2 x^2 .

Passo 1

Bom, o problema fornece um operador linear no espaço dos polinômios com grau menor ou igual a 2 . Sabemos que

T (1) = x

T (x) = 1 - x^2

T (x^2) = x + 2 x^2

Queremos achar uma expressão para T ( a + b x + c x^2 ) . Usando as propriedades de linearidade:

T (a + b x + c x^2) = a T (1) + b T (x) + c T ( x^2 )

Passo 2

Usando as informações do enunciado:

T (a + b x + c x^2) = a x + b (1 - x^2) + c ( x + 2 x^2 )

Portanto,

T (a + b x + c x^2) = b + (a + c) x + (2 c - b) x^2

Resposta

T (a + b x + c x^2) = b + (a + c) x + (2 c - b) x^2

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Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = - 2( x ,y )
Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( x ,2 y )
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Dentre as transformações T :R 2 → R 2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são lineares. T x , y = ( y ,x )
Seja V = R 2 . Fazer um gráfico de um vetor genérico v = ( x ,y ) do domínio e de sua imagem T ( v ) sob a transformação linear T :R 2 → R 2 dada por: T x , y = ( 2 x ,y )