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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 36

Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E 3 que são equidistantes das retas r : X = 0 , - 1 2 , 0 + λ 1,0 , 0 e s : X = 0 , 1 2 , 0 + λ 0,0 , 1 , e identifique-o.

Passo 1

Então, temos um ponto X de coordenadas X = x , y , z pertencente a E 3 . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos x que satisfazem:

d X , r = d X , s

Para isto, vamos precisar calcular a distância de ponto a reta. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.

Seja uma reta t : X = T + λ   t → , a sua distância até o ponto X será dado por:

d X , t = | | X T → ∧ t → | | | | t → | |

Passo 2

Agora que já sabemos o que fazer, vamos calcular separadamente cada uma das distâncias. Começando por d X , r , temos:

X R → = R - X = 0 , - 1 2 , 0 - x , y , z = - x , - 1 2 - y , - z

X R → ∧ r → = i j k - x - 1 2 - y - z 1 0 0 = 0 , - z , 1 2 + y

d X , r = | | X R → ∧ r → | | | | r → | | = 0 2 + - z 2 + 1 2 + y 2 1 2 + 0 2 + 0 2 = z 2 + 1 2 + y 2

Já para d X , s , temos:

X S → = S - X = 0 , 1 2 , 0 - x , y , z = - x , 1 2 - y , - z

X R → ∧ r → = i j k - x 1 2 - y - z 0 0 1 = 1 2 - y , - x , 0

d X , s = | | X S → ∧ s → | | | | s → | | = - 1 2 + y 2 + - x 2 + 0 2 1 2 + 0 2 + 0 2 = x 2 + - 1 2 + y 2

Passo 3

Agora, só precisamos desenvolver a relação. Portanto,

z 2 + 1 2 + y 2 = x 2 + - 1 2 + y 2

z 2 + 1 2 + y 2 = x 2 + - 1 2 + y 2

z 2 + y 2 + y + 1 4 = x 2 + y 2 - y + 1 4

z 2 + y = x 2 - y

y = x 2 - z 2 2

O lugar geométrico dos pontos de X = x , y , z ∈ E 3 que satisfazem y = x 2 - z 2 2 é chamado paraboloide hiperbólico!

Resposta

O lugar geométrico dos pontos de X = x , y , z ∈ E 3 que satisfazem y = x 2 - z 2 2 é chamado paraboloide hiperbólico!

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Se a = b ≠ c ou a = c ≠ b , ou b = c ≠ a , o elipsoide Ω : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 + z 2 / c 2 = 1 é chamado de elipsoide de rotação. Dê uma explicação intuitiva para isso.
Prove que a equação dada descreve um hiperboloide, classifique-o quanto ao número de folhas e escreva uma equação vetorial de seu eixo distinguido. Determine seus vértices, se for o caso. x - h 2 a 2
Quais os seguintes objetos não podem ser associados a elipsoides, pelo aspecto da sua superfície externa?Um ovo. Uma bola de rugby. Uma câmera de ar. Uma bola de futebol. Um charuto.
Identifique, em cada caso, o lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d X , A + d X , B = m . A = 1 ,0,0 B = - 1 ,0 ,0 m = 2 . A = 2,0 , 2 B = 2,0 , 0 m = 1 .
Descreva a curva interseção do hiperboloide Ω com o plano π e determine, quando for o caso centro, focos, assíntotas, raio. Ω : x 2 - 4 y 2 + 5 z 2 = 1π : z + 1 / 5 = 0 . Ω : - 3 x 2 - 4 z 2 + 5 y 2 =