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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 26.Exercício - Ex. 19

Verifique se a superfície dada é uma superfície de rotação em torno de algum dos eixos coordenados e especifique o eixo de rotação se for o caso (suponha que a ≠ b )

  1. x 2 a 2 + y 2 a 2 - z 2 b 2 = 1 (hiperboloide de uma folha)
  2. - x 2 a 2 - y 2 b 2 + z 2 a 2 = 1 (hiperboloide de duas folhas)
  3. - x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 a 2 = 1 (hiperboloide de duas folhas)
  4. x = y 2 a 2 + z 2 a 2 (paraboloide elíptico)
  5. y = x 2 a 2 - z 2 a 2 (paraboloide hiperbólico)

Passo 1

  1. Sim, há a rotação no eixo O x . Note que podemos tomar o conjunto

    2. Γ : y 2 a 2 - z 2 b 2 = 1 x = 0

    e girar em torno do eixo O x para obter o conjunto.

    Passo 2

  2. Note que os termos que são negativos possuem coeficientes diferentes ( x e y ). Dessa forma, não há o eixo de simetria e a figura não é uma superfície de rotação.

    3. Passo 3

  3. Diferentemente do caso anterior, note que os termos negativos possuem o mesmo coeficiente. Assim, podemos dizer que é uma superfície de rotação em torno do eixo O y .

    4. Passo 4

  4. Observe o aspecto do paraboloide elíptico:

    5. Note que ele é uma rotação da circunferência

    y 2 a 2 + z 2 a 2 = k

    em torno do eixo O x .

    Passo 5

  5. O termo negativo faz com que não tenhamos nenhum eixo de simetria. Assim, novamente, não temos nenhum eixo de rotação e a superfície não é uma superfície de rotação. Note o aspecto da figura no esquema abaixo:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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