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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 23b

Descreva a curva interseção do paraboloide Ω com o plano π e determine, quando for o caso, centro, focos, vértices, excentricidade, assíntotas, raio etc.

  1. Ω : z + x 2 + 3 y 2 = 0 π : z + 9 = 0
  2. Ω : 4 y - 4 x 2 - z 2 = 0 π : z - 1 = 0
  3. Ω : x + y 2 + 2 z 2 = 0 π : x - 1 = 0

Passo 1

Para podermos descrever qual é a curva interseção da superfície Ω com o plano π , precisamos isolar uma variável na equação do plano e substituir na equação do paraboloide.

Portanto, para o plano π : z - 1 = 0 , basta substituir z = 1 na equação do paraboloide. Sendo assim, iremos obter:

4 y - 4 x 2 - z 2 = 0

4 y - 4 x 2 - 1 = 0

4 x 2 = 4 y - 1

x 2 = y - 1 4

Curva esta que descreve uma parábola.

Passo 2

Agora, vamos descrever todas as propriedades desta parábola. Uma importante lembrança é de não esquecer sempre de colocar a terceira coordenada z = 1 para os pontos a seguir!

Ela tem vértice em V = 0 , 1 4 , 1 .

Lembrando da forma reduzida da parábola x 2 = 4 p y , e comparando com a parábola desta questão (compare y - 1 / 4 com y ). Percebemos que o parâmetro é p = 1 / 4 .

Como a parábola está voltada para “cima”, o foco será dado por F = 0 , 1 4 + p , 1 = 0 , 1 2 , 1 e a sua reta diretriz será:

r : X = 0 , 1 4 - p , 1 + λ 1,0 , 0

r : X = 0 , 0 , 1 + λ 1,0 , 0

Resposta

Uma parábola de vértice V = 0 , 1 4   , 1 , foco F = 0 , 1 2 , 1 , parâmetro p = 1 / 4 e reta diretriz r : X = 0,0 , 1 + λ 1,0 , 0 .

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