Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 25.Exercício - Ex. 17
Sejam e . Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de tais que e identifique o lugar geométrico, nos casos:
Passo 1
Então, temos um ponto de coordenadas pertencente a . Nosso trabalho é descobrir quem são esses pontos que satisfazem:
Vamos desenvolver uma expressão geral, sem considerar um valor específico para . Depois, iremos analisar cada caso particularmente.
Desta forma, vamos precisar calcular as distâncias de ponto a ponto. Portanto, vamos relembrar como fazemos isto.
Seja um ponto , a sua distância até o ponto será dado por:
Passo 2
Agora, vamos desenvolver a nossa relação. Portanto,
Elevando ao quadrado ambos os membros, temos:
Elevando ao quadrado novamente, temos:
E assim, temos uma expressão geral da relação expressa na questão em função de .
Passo 3
Agora, vamos resolver a letra a). Para isto, vamos fazer a substituição . Desta forma, temos:
A equação da superfície consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. É importante ressaltar que devido a forma que obtivemos, a superfície só existe para , pois:
Visto que
Passo 4
Agora, vamos resolver a letra b). Para isto, vamos fazer a substituição . Desta forma, temos:
Portanto, a única solução para a equação acima é e . Portanto, o ponto tem coordenadas . E esse , que nada sabemos? Como vamos identificar?
Para isto, vamos ter de voltar a relação inicial e verificar ela. Logo,
Temos três possibilidades. Se , temos:
Claramente, temos uma mentira. Portanto, não pode ser maior ou igual a 3. A segunda possibilidade é . Sendo assim, temos:
Eita. Como que e a solução nos diz que, obrigatoriamente, ? Informações contraditórias né? Então, não pertence a este intervalo. Nosso último teste é . Com isto, temos:
O que é uma verdade! Agora sim. Portanto, a solução é o conjunto dos pontos tais que . Ou também, é parte do eixo tal que
Passo 5
Agora, vamos resolver a letra c). Para isto, vamos fazer a substituição . Desta forma, temos:
Mas calma aí será esta a nossa resolução? Um elipsoide? Precisamos nos questionar se a equação obtida realmente satisfaz as questões iniciais.
Sempre se lembrem que, ao elevar equações ao quadrado, estamos generalizando. Talvez tenhamos incluído algum caso que não satisfaz o critério inicial.
Bom, vamos verificar a relação inicial. Novamente, temos:
Estamos trabalhando com funções contínuas dentro do seu domínio. Vamos verificar qual solução do elipsoide nos dá o maior valor na relação acima. Se for acima de 10 e a menor solução menor que 10, pela continuidade da função, teremos algum ponto que realmente dê o valor 10, e aí estaria ok.
Então, conseguimos maximizar a função “de olho”. Vamos substituir o ponto , um dos vértices do elipsoide. Ele será o ponto de máximo. Portanto,
E chegamos a uma mentira! Se nem o ponto de máximo nos dá o valor , significa que todo o elipsoide, na grande realidade, não satisfaz a nossa questão!
Portanto, se nem ele satisfaz, a solução real é o conjunto vazio!
Passo 6
Agora, vamos resolver a letra d). Para isto, vamos fazer a substituição . Desta forma, temos:
A equação da superfície consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. É importante ressaltar que devido a forma que obtivemos, a superfície só existe para , pois:
Visto que
De outra forma, a solução aqui obtida nada mais é do que a outra folha do hiperboloide obtido na letra a).
Resposta
- , tal que , consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas.
- É o conjunto dos pontos tais que .
- A solução é o conjunto vazio.
- , tal que , consiste na equação de um hiperboloide de duas folhas. Em especial, é a outra folha do hiperboloide da letra a).