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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas Propostos - Ex. 14a

14. Determinar o ângulo entre as seguintes restas:

(a) r : x = - 2 - 2 t y = 2 t z = 3 - 4 t e s : x 4 = y + 6 2 = z - 1 2

(b) r :   y = - 2 x - 1 z = x + 2 e s : y 3 = z + 1 - 3 ; x = 2

(c) r : x = 1 + 2 t y = t z = 5 - 3 t e s : x = 0 y = 0

(d) r : x - 4 2 = y - 1 = z + 1 - 2 e s : x = 1 y + 1 4 = z - 2 3

Passo 1

(a) Primeiro precisamos saber qual é a direção das retas:

A dica é: quando tem “t”, vai ser sempre o que está acompanhado do t:

v r = - 2,2 , - 4

E quando ta na forma reduzida... precisamos mexer um pouquinho, mas é bem de boa... só isolar y e z... e ver o que acompanha o x:

x 4 = y + 6 2

y = x 2 - 6

x 4 = z - 1 2

z = x 2 + 1  

Então:

v s = 1 , 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora colocando na fórmula pra saber o ângulo:

cos ⁡ θ = v r ⋅ v s v r v s

cos ⁡ θ = - 2 1 + 2 1 2 + - 4 1 2 - 2 2 + 2 2 + - 4 2 1 2 + 1 2 2 + 1 2 2

cos ⁡ θ = 1 2

Então:

θ = 60 °

Resposta

θ = 60 °

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Obtenha equações na forma simétrica de uma reta que contém o ponto P = ( 1 ,- 2 ,3 ) e forma ângulos de 45 ° e 60 ° , respectivamente, com os eixos O x e O y .
Obtenha equações da reta r que contém o ponto P = ( 1 ,1 ,1 ) e é concorrente com s : x = 2 y = 2 z , sabendo que o cosseno da medida angular entre r e s é igual a 1 3 .
Prove que não existe um triângulo equilátero cujos vértices tenham coordenadas racionais.
Dadas as retas r : a x + b y = c er ' : a ' x + b ' y = c ' , suponha que a 2 + b 2 = a ' 2 + b ' 2 = 1 . Mostre que as duas bissetrizes do ângulo formados por r e r ' são a - a ' x + b - b ' y = c -
Escreva equações paramétricas da reta r que passa por A=( 1,2 , - 1 ) , encontra a reta x - 1 2=y=z + 3 - 1 e é ortogonal ao vetor u →=( 1 , - 1,2 ) .