Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 1a
Calcular, se existir, a matriz inversa de (usando sua adjunta) e use essa inversa para resolver nos seguintes casos:
Passo 1
Vamos lá! Essa é uma questão bem direta! Primeiro, ela pede para calcularmos a matriz inversa de (e ainda afirma o método que devemos utilizar, vê se pode isso!), e depois pede para usarmos essa inversa na resolução do sistema.
Então, vamos precisar da inversa, pois a resolução será dado por:
Desta forma, temos que descobrir e depois fazer o produto de . Mas, para obtermos precisamos utilizar o método da adjunta, o que envolve uma série de passos. Então, vamos ver todo este procedimento calmamente.
Passo 2
O nosso primeiro passo para calcular a matriz inversa, é calcular uma matriz .
Lembram quando vamos calcular o determinante de uma matriz pelo método dos cofatores? Então, lá nós tínhamos o termo . Ele era dado pela multiplicação de pelo determinante da matriz resultante obtida ao retirarmos a linha e e coluna da matriz.
Então, a nossa matriz é obtida pelos termos por estes termos. Então, o termo é , da mesma forma que é . Sendo assim, podemos escrever a matriz da seguinte forma:
Agora que calculamos a matriz , vamos calcular a matriz adjunta de , que é exatamente a matriz transposta de . Portanto,
Estamos quase lá! A matriz inversa de então é expressa por:
Só nos resta calcularmos o determinante de . Ele será:
Portanto,
E assim finalizamos a primeira parte da questão!
Passo 3
Agora, vamos para a parte mais difícil! Só que não!
Agora é a moleza, uma multiplicação de matriz. A nossa solução será:
E assim finalizamos a questão!