Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 32
Mostre que uma equação geral do plano tangente a superfície esférica em é
Generalize o resultado do item para a superfície de centro e raio
Dê uma interpretação vetorial para os resultados dos itens e
Passo 1
Como o ponto pertence a esfera então:
E como o centro da esfera está em e o ponto de tangência em então o vetor ordenado será:
E como esse vetor está perpendicular ao plano tangente então o plano tangente terá equação igual a:
E se aplicarmos o ponto nós veremos que:
Então a equação do plano tangente será:
Passo 2
Para a equação de centro em nós teríamos uma equação de esfera igual a:
Em nós teríamos:
E o vetor será igual a:
Portanto uma equação de plano tangente seria:
Porém como e se e , será igual a então uma equação seria:
Poderíamos encontrar essa função linearizando a esfera nesse ponto, mas isso está mais para os livros de cálculo.
Passo 3
Basicamente fizemos uma multiplicação escalar entre o vetor do centro da esfera até um ponto que pertence a esse plano tangente e o vetor do centro até o ponto que pertence a esfera de modo que: