( a ) Mostre que uma equação geral do plano π tangente a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em T = ( h , k , l ) é h x + k y + l z = ρ 2 ( b ) Generalize o resultado do item ( a ) para a superfície de centro C = ( x 0 , y 0 , z 0 ) e raio ρ ( c ) Dê uma interpretação vetorial para os resultados dos itens ( a ) e ( b )

b )h - x 0 ( x - x 0 ) + k - y 0 ( y - y 0 ) + l - z 0 ( z - z 0 ) = ρ 2

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 32

Mostre que uma equação geral do plano tangente a superfície esférica em é

Generalize o resultado do item para a superfície de centro e raio

Dê uma interpretação vetorial para os resultados dos itens e

Passo 1

Como o ponto pertence a esfera então:

E como o centro da esfera está em e o ponto de tangência em então o vetor ordenado será:

E como esse vetor está perpendicular ao plano tangente então o plano tangente terá equação igual a:

E se aplicarmos o ponto nós veremos que:

Então a equação do plano tangente será:

Passo 2

Para a equação de centro em nós teríamos uma equação de esfera igual a:

Em nós teríamos:

E o vetor será igual a:

Portanto uma equação de plano tangente seria:

Porém como e se e , será igual a então uma equação seria:

Poderíamos encontrar essa função linearizando a esfera nesse ponto, mas isso está mais para os livros de cálculo.

Passo 3

Basicamente fizemos uma multiplicação escalar entre o vetor do centro da esfera até um ponto que pertence a esse plano tangente e o vetor do centro até o ponto que pertence a esfera de modo que:

Resposta

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Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta y=2 x- 3 ⎨ z=x- 1 e que passa pelos pontos A =( 3,6 , - 1 ) e B =( 5,0 , 7 ) .

Determine o centro e o raio da circunferência x^2 + y^2 + z^(2 ) - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0 ⎨x + y - z + 1 = 0

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta x - 1 3 = y+2 - 1=z e que passa pelos pontos P =( 1 , - 1,2 ) e Q =( 0,0 , 2 ) .

Ache os planos paralelos ao plano x- 2 y- z= 0 e que são tangentes à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 y- 4 y + 4= 0 .

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta x=1-y ⎨ z=1+2 y e passa por M=( 1,2 , 1 ) e N=( - 1,1 , 0 ) .