Das superfícies esféricas cujos centros pertencem ao plano de equação geral 3 x + 2 y - z - 8 = 0 , quantas tangenciam os três planos coordenados? Escreva suas equações.

Passo 1

Se balizando pela questão anterior para resolver esse exercício, isso é o centro da esfera deve estar em C = ( m , n , p ) e m = n = p = ρ , portanto a equação das esferas deverão ser iguais a:

x ± m 2 + y ± m 2 + z ± m = m 2

Substituindo o ponto x , y , z = ( m , m , m ) na equação do plano nós iremos obter:

3 m + 2 m - m = 8

4 m = 8 → m = 2

Portanto a primeira equação será:

x - 2 2 + x - 2 2 + z - 2 2 = 4

Passo 2

Os outros passos deverão ser aplicar pontos como ( - m , m , m ) , m , - m , m , … e por aí vai, isso daria 7 possibilidades de equação, porém nem todas funcionam tipo, ( - m , m , - m ) , isso nos daria:

- 3 m + 2 m + m = 8 → 0 = 8  

Isso seria uma solução não válida então testando uma a uma só conseguiríamos solução para:

x , y , z = ( m , - m , - m )

O que nos dá:

3 m - 2 y + m = 8 → m = 4

E uma equação igual a:

x - 4 2 + y + 4 2 + z + 4 2 = 16

Passo 3

E x , y , z = ( m , m , - m )

Que daria:

3 m + 2 m + m = 8 → m = 4 3

E a equação seria:

x - 4 3 2 + y - 4 3 2 + z + 4 3 2 = 16 9

Essas três equações tem centro respeitando a equação do plano dado e cortam os três planos coordenados. Qualquer outra combinação de ( ± m , ± m , ± m ) não nos dá solução.

Resposta

x - 2 2 + x - 2 2 + z - 2 2 = 4

x - 4 2 + y + 4 2 + z + 4 2 = 16

x - 4 3 2 + y - 4 3 2 + z + 4 3 2 = 16 9

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