Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 28

Obtenha uma equação geral do plano tangente a superfície esférica em , nos casos:

Passo 1

A equação reduzida da esfera da letra nos mostra que:

Portanto o centro dessa esfera está em , e pelo Corolário vimos que o vetor é perpendicular ao plano de interesse e por isso o plano terá uma equação proporcional a esse vetor, onde é o centro e o ponto de tangência, logo:

Então o plano terá uma equação com a cara de:

Aplicando nesse plano nós teremos:

Portanto a equação do plano será:

Passo 2

Já para a letra , vemos que a equação reduzida dessa esfera será:

Completando os quadrados:

Então o centro está em e como o ponto de tangência está em

O que nos leva a um vetor igual a:

Portanto a equação do plano será:

E se aplicarmos o ponto nesse plano (uma vez que ele pertence a esse plano) nós teremos:

Logo o plano de tangência será:

Qualquer dúvida verifique o corolário e o exercício resolvido

Resposta

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Determine os planos tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , que passam pela reta x - y + 2 z - 3 = 0 x + 2 z - 1 = 0

Ache a superfície esférica tangente aos planos paralelos x - 2 y + 2 z + 1 = 0 e x - 2 y + 2 z - 8 = 0 sendo ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência.

Determine o centro e o raio da circunferência, interseção da superfície esférica x 2+y 2+ z 2- 2 x- 4 y+6 z+4=0 com o plano 2 x- y- z+3=0 .

Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x- 5= 0 e que são perpendiculares à reta x - 1 2= y= z - 1 .

Calcule a de modo que o plano x+ y+ z=a seja tangente à superfície esférica x 2+y 2 + z 2- 2 x+ y- 2 z= 6 .