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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 28

Obtenha uma equação geral do plano tangente a superfície esférica S em T , nos casos:

( a ) T = - 1 3 , 1 3 , - 1 3 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 1 = 0

( b ) T = 0 , 95 , 0 S : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 z - 95 = 0

Passo 1

A equação reduzida da esfera da letra a nos mostra que:

x 2 - 2 x + y 2 + z 2 = 1

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + z 2 = 2

x - 1 2 + y 2 + z 2 = 2

Portanto o centro dessa esfera está em ( 1,0 , 0 ) , e pelo Corolário 24 - 17 vimos que o vetor C T → é perpendicular ao plano de interesse e por isso o plano terá uma equação proporcional a esse vetor, onde C é o centro e T o ponto de tangência, logo:

C T → = T - C = - 1 3 , 1 3 , - 1 3 - 1,0 , 0 = - 4 3 , 1 3 , - 1 3

Então o plano terá uma equação com a cara de:

- 4 x + y - z + d = 0

Aplicando T nesse plano nós teremos:

4 3 + 1 3 + 1 3 + d = 0

d = - 2

Portanto a equação do plano será:

- 4 x + y - z - 2 = 0

Passo 2

Já para a letra b , vemos que a equação reduzida dessa esfera será:

( x 2 - 2 x ) + ( y 2 ) + ( z 2 - 4 z ) = 95

Completando os quadrados:

x 2 - 2 x + 1 + y 2 + z 2 - 4 z + 4 = 95 + 4 + 1

x - 1 2 + y 2 + z - 2 2 = 100

Então o centro está em C = ( 1,0 , 2 ) e como o ponto de tangência está em T = 0 , 95 , 0

O que nos leva a um vetor   C T → igual a:

  C T → = T - C = - 1 , 95 , - 2

Portanto a equação do plano será:

- x + 95 y - 2 z + d = 0

E se aplicarmos o ponto T nesse plano (uma vez que ele pertence a esse plano) nós teremos:

0 + 95 + d = 0 → d = - 95

Logo o plano de tangência será:

- x + 95 y - 2 z - 95 = 0

Qualquer dúvida verifique o corolário 24 - 17 e o exercício resolvido 24 - 18

Resposta

a ) - 4 x + y - z - 2 = 0

b ) - x + 95 y - 2 z - 95 = 0

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