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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 47

Determinar uma equação da elipse de centro 0 ,   0 , eixo maior sobre o eixo dos y , sabendo que passa pelos pontos P 1 ,   14 e Q 2 ,   - 2 2 .

Passo 1

Então galera, de acordo com o enunciado a nossa elipse tem centro em 0 ,   0 , possui o eixo maior sobre o eixo y e passa por dois pontos dados. Como o eixo maior está em y , então a equação da elipse terá o seguinte formato:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

Portanto o nosso objetivo é encontrar a e b , tudo bem? Show!

Passo 2

Para o primeiro ponto dado, que é P 1 ,   14 , teremos o seguinte:

1 2 b 2 + 14 a 2 = 1

1 b 2 + 14 a 2 = 1

Para o segundo ponto dado, que é Q 2 ,   - 2 2 , teremos o seguinte:

2 2 b 2 + 8 a 2 = 1

4 b 2 + 8 a 2 = 1

Então formamos o seguinte sistema:

1 b 2 + 14 a 2 = 1 4 b 2 + 8 a 2 = 1

Multiplicando a primeira equação por - 4 e depois somando as duas equações, teremos:

- 4 b 2 - 56 a 2 = - 4 4 b 2 + 8 a 2 = 1

8 a 2 - 56 a 2 = - 3

- 3 a 2 = - 48

a 2 = 16 ∴ a = 4

Agora vamos encontrar b !

Passo 3

Uma vez que encontramos a , para encontrarmos b é suavão, galera! Basta substituirmos a = 4 na segunda equação que escrevemos, se liga:

4 b 2 + 8 4 2 = 1

4 b 2 + 1 2 = 1

b 2 = 8 ∴ b = 2 2

Agora que encontramos a e b , podemos escrever a expressão da elipse que queríamos. Substituindo, temos que a equação será:

x 2 2 2 2 + y 2 4 2 = 1

E essa é a nossa resposta! 😉

Resposta

x 2 2 2 2 + y 2 4 2 = 1

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