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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 50

Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1 3 viaja ao redor de um planeta situado em um dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300   k m , calcular a maior distância.

Passo 1

Então galera, para respondermos essa questão devemos nos lembrar das Leis de Kepler lááá da Física, tudo bem?

A menor distância entre o satélite e o planeta é o raio menor da órbita, que pode ser calculado assim:

d 1 = a - c

A maior distância entre o satélite e o planeta é o raio maior da órbita, que pode ser calculado assim:

d 2 = a + c

Aqui vale ressaltar que d 1 é a menor distância e d 2 é a maior distância, ok? Show! A questão quer que encontremos d 2 , então vamos explorar os dados do enunciado.

Passo 2

A questão nos diz que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300   k m , logo:

d 1 = a - c = 300

Além disso, a excentricidade da órbita é 1 3 e sabemos que a forma de calcular a excentricidade é fazendo:

e = c a

Logo:

c a = 1 3

∴ a = 3 c

Então temos o seguinte sisteminha, galera:

a - c = 300 a = 3 c a + c = d 2

Show!

Passo 3

Substituindo a = 3 c , teremos:

a - c = 300

3 c - c = 300

c = 150   k m

Logo:

a = 3.150

a = 450   k m

E portanto, a maior distância será:

d 2 = a + c = 600   k m

E essa é a nossa resposta, galera! 😉

Resposta

Maior distância: 600   k m

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Seja F o foco da parábola P : y 2 = 4 p x . Localize os pontos Q do eixo da parábola para os quais todos os pontos de P veem o segmento F Q sob ângulo agudo.
Sejam F 1 e F 2 os focos da elipse E : x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 , e r 1 e r 2 as respectivas diretrizes associadas. Seja E ' a elipse definida como na Observação 22-37, tomando-se e = c / a , F = F 1
Sejam A e B , respectivamente, extremidades dos eixos maior e menor de uma elipse de centro O , F um dos focos e C um ponto da elipse tal que C F é perpendicular ao eixo maior. Supondo que O C → = k A
Calcule a excentricidade de uma elipse, sabendo que as extremidades das cordas que contêm algum foco e são perpendiculares ao eixo maior são vértices de um quadrado inscrito na elipse.
Calcule a excentricidade de uma hipérbole, sabendo que as extremidades das cordas que contêm algum foco e são perpendiculares à reta focal são vértices de um quadrado.