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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 13

Determinar uma equação geral do plano que passa por A ( 2 , 0 , - 2 ) e é paralelo aos vetores u → = i ^ - j ^ + k ^ e v → = 2 i ^ + 3 j ^ .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Relembrar é viver, né? Sendo assim, vou te relembrar do que será preciso para cada equação do plano.

Para escrever a equação geral do plano precisamos de um vetor normal ao plano e um ponto que pertença a ele.

A equação geral é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Onde x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas do ponto e a , b , c as componentes do vetor.

A ideia aqui é fazer um produto vetorial entre os vetores u → e v → , assim teremos um vetor normal ao plano. E justamente com o ponto A , equacionar esse plano.

Tranquilo? Vamos começar?

Passo 2

Começando pelo produto vetorial entre v → = ( 2,3 , 0 ) e u → = ( 1 , - 1,1 ) :

v → × u → = i ^ j ^ k ^ 2 3 0 1 - 1 1 = i → 3 + 0 + j → 0 - 2 + k → ( - 2 - 3 )

= ( 3 , - 2 , - 5 )

Passo 3

Agora juntando o vetor normal ( 3 , - 2 , - 5 ) com o ponto A ( 2,0 , - 2 ) , podemos escrever uma equação geral pra esse plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

3 x - 2 - 2 y - 0 - 5 z + 2 = 0

3 x - 6 - 2 y - 5 z - 10 = 0

3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0

Assim a equação do plano é 3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

3 x - 2 y - 5 z - 16 = 0

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