Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 6.Problemas propostos - Ex. 4

Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto médio do segmento de extremos e e é perpendicular a ele.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para escrever a equação geral de um plano precisamos de duas coisas: um ponto que pertença a ele e um vetor que seja perpendicular a ele.

A equação geral é:

Beleza?

Passo 2

O ponto é o ponto médio entre os pontos e . E o vetor? Bom, o vetor não foi dado explicitamente, mas esse plano é perpendicular ao segmento. Então um vetor desse segmento é um vetor ortogonal o plano. Sendo assim, um vetor desse segmento é, por exemplo, um vetor que sai de e vai até , mas poderia ser um vetor que vai de até , o até mesmo ao ponto médio desse segmento.

Daí é só jogar o ponto e o vetor na equação geral do plano.

Tranquilo?

Passo 3

Começando pelo ponto médio:

Agora vamos calcular o vetor:

Passo 4

Reunindo as informações que calculamos temos:

E agora é só substituir na equação geral:

Só mais umas continhas e chegamos lá:

E vou dividir toda essa equação por :

E para não ficarmos com um termo independente fracionário, vou multiplicar toda a equação por (mas isso aqui é firula, qualquer uma das duas equações são igualmente válidas):