Enunciado

Achar a distancia do ponto P à reta r nos casos

P (1 , - 1 , 0) r : x = 2 - t y = 0 z = t

Passo 1

A distancia de um ponto à uma reta é calculada a partir dessa fórmula aqui: d (P , r) = (| vec v xx vec A |)/(| vec v |)

Lembrando que o produto vetorial é calculado desse jeitão

vec a xx vec b = |[[i,j,k],[a_x,a_y,a_z],[b_x,b_y,b_z]]|

E o módulo assim:

|vec a| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 2

Então vamos começar a colocar a mão na massa começando calculando o vetor da reta r

r : x = 2 - t y = 0 z = t

Como já temos tudo em função de t , ficamos que a parametrização de r é

r : (2 - t , 0 , t)

r : (2,0 , 0) + t ( - 1 , 0,1 )

Então nosso vetor vec v fica:

vec v = ( - 1,0 , 1 )

Passo 3

Agora precisamos de um vetor vec A P , P nós ja temos, falta achar um ponto A na reta, vamos pegar a parametrização quando t = 0

A = (2,0 , 0)

Nosso vetor vec A P então fica

vec A P = P - A = (1 , - 1,0) - (2,0 , 0)

vec A P = ( - 1 , - 1,0 )

Passo 4

Agora que já temos nossos vetores, vamos partir pra cima do d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |) , começando pelo produto vetorial, ficamos com

vec A P xx vec v = |[[i,j,k],[-,1,-,1,0],[-,1,0,1]]|

Nosso produto então fica

vec A P xx vec v = ( - 1,1 , - 1 )

Passo 5

Agora usando a formula da distancia, ficamos com

d (P , r) = (| vec v xx vec A P |)/(| vec v |)

d (P , r) = (sqrt(( - 1 )^2 + 1^2 + (- 1)^2))/(sqrt((- 1)^2 + 0^2 + 1^2))

d (P , r) = (sqrt(3))/(sqrt(2))

d (P , r) = (sqrt(6))/(2)

Resposta

d (P , r) = (sqrt(6))/(2)

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Dada a reta r : X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Encontre a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes de A = (1, −1, 2) e B = (4, 3, 1). Este plano passa pelo ponto médio de AB? Ele é perpendicular ao segmento AB?
Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2, −2) + t(1, −1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A a reta r é maior, menor ou igual a 3 ? Por que?
Dados os vértices A = 1,0 , - 1 ,B = ( 2,1 , 0 ) e C = ( 2,1 , 1 ) de um Δ A B C ,escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A . ;
(a) Escreva equações da reta r que passa por A = ( 1 , - 2,3 ) e é paralela à reta x - 4 2 = y - 45 7 = z - 1 ;