Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 14.Exercício - Ex. 24
Supondo que o sistema de coordenadas seja ortogonal, obtenha equações paramétricas dos seis planos bissetores dos dietros determinados pelos planos de coordenadas.
Passo 1
Vamos começar fazendo um esboço da nossa ilustração e fazer algumas considerações:
Não fiquem triste senão ficar igual, eu fiz no computador.
Agora, vamos as considerações:
Um plano bissetor de um diedro é aquele que divide o ângulo formado pelo diedro em dois iguais. Dessa forma, temos que o plano coordenado tridimensional é representado pelo gráfico.
Assim, podemos notar que os 6 bissetores dos diedros serão representados pelos diedros entre os planos verde e azul, azul e vermelho e, vermelho e verde, onde cada interseção entre estes planos resultará em dois planos bissetores.
Passo 2
Analisando o nosso esboço, e sabendo que as equações gerais dois seis planos bissetores dos diedros formados pelos planos coordenados são:
Podemos dizer que existem diversas maneiras de obter as equações paramétricas para cada um dos planos bissetores. Uma em particular (a qual nós vamos utilizar) consiste em localizar três pontos não-colineares que pertencem respectivamente a um, a outro e a ambos os planos que formam o diedro, obter a partir deles a reta bissetriz do ângulo e, a partir disso, escrever as equações dos planos.
Passo 3
Assim, podemos passá-las para a forma paramétrica, de modo a obter o que a questão nos pede. Temos, então:
Antes de firnalizarmos a questão, vamos as considerações finais...
Podemos observar que sempre dois planos coordernados de fato possuirão o mesmo valor (diferente em módulo em alguns casos) em cada equação dos planos.
Isso ocorre, devido ao fato de que os planos bissetores geram planos com 45° de inclinação entre dois planos envolvidos, o que necessariamente faz com que os valores nestes eixos sejam iguais (podendo ser diferente em módulo, dependendo do plano).
Resposta
