Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta

r :   x = 2 + 2 t y = 1 - 3 t z = 4 t

E que contenha o ponto A ( - 1 , 2,3 ) .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Para escrever a equação geral de um plano precisamos de duas coisas: um ponto ( x 0 , y 0 , z 0 ) que pertença a ele e um vetor ( a , b , c ) que seja perpendicular a ele.

Beleza?

Passo 2

O ponto nós temos e é A ( - 1 , 2,3 ) . E o vetor? Bom, o vetor não foi dado explicitamente, mas temos uma reta que é perpendicular a esse plano. Sendo assim, podemos usar qualquer vetor dessa reta para usar na equação do plano =D

O vetor mais fácil de ser obtido é o diretor, cujas componentes são os números que multiplicam o parâmetro t . Então, do enunciado temos as equações da reta:

r :   x = 2 + 2 t y = 1 - 3 t z = 4 t

Daí o vetor diretor é:

( 2 , - 3,4 )

Tranquilo?

Passo 3

A equação geral de um plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

O vetor é a , b , c = ( 2 , - 3,4 ) e o ponto x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1,2 , 3 ) . Agora é só substituir:

2 x - ( - 1 ) - 3 y - 2 + 4 z - 3 = 0

Agora precisamos fazer essas multiplicações e simplificar o que der:

2 x + 1 - 3 y + 6 + 4 z - 12 = 0

2 x + 2 - 3 y + 4 z - 6 = 0

2 x - 3 y + 4 z - 4 = 0

É isso! A equação do plano é 2 x - 3 y + 4 z - 4 = 0 .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

2 x - 3 y + 4 z - 4 = 0

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