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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 32

Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.

Focos F 1 - 6,1 e F 2 0,1 e eixo real medindo 4

Passo 1

Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:

  • Dois focos, F 1 e F 2 , que possui uma distância focal de 2 c entre eles
  • Um centro C h , k que é o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2
  • Dois vértices, A 1 e A 2
  • O eixo real que é o segmento A 1 A 2 com comprimento 2 a
  • O eixo imaginário que é o segmento B 1 B 2 com comprimento 2 b

Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo O x , pois os pontos tem o valor y constante igual a 1 , assim a equação vai ser da forma:

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1

Vamos então encontrar os valores a , b , k e h .

Passo 2

Pelas informações do enunciado temos que os focos são F 1 - 6,1 e F 2 0,1 , vamos ver esses pontos no gráfico:

Temos então que a distância entre os dois focos é igual a 2 c , então vamos achar c :

2 c = 0 - - 6 → 2 c = 6 → c = 3

Além do centro C h , k ser o ponto médio do segmento dos focos F 1 F 2 , assim temos:

h = - 6 + 0 2 = - 6 2 = - 3

k = 1

O centro é então C - 3,1 .

E temos que como o eixo real que é o segmento A 1 A 2 e tem comprimento 2 a , vamos então encontrar o valor de a :

2 a = 4 → a = 2

Passo 3

Vamos também encontrar os vértices para montar o gráfico, como a distância do centro aos vértices é de 2 , temos então que as coordenadas x deles são:

- 3 + 2 = - 1

- 3 - 2 = - 5

E a y é constante e igual a 1 , assim os vértices são A 1 - 1,1 e A 2 - 5,1 .

Precisamos agora encontrar b , e para isso podemos usar a seguinte expressão:

c 2 = a 2 + b 2

Vamos então substituir os valores:

c 2 = a 2 + b 2 → 3 2 = 2 2 + b 2 → 9 = 4 + b 2 → b 2 = 5 → b = 5

Passo 4

Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro C - 3,1 , a = 2 e b = 5 :

x - h 2 a 2 - y - k 2 b 2 = 1 → x - - 3 2 2 2 - y - 1 2 5 2 = 1 → x + 3 2 4 - y 2 - 2 y + 1 5 = 1 →

→ x 2 + 6 x + 9 4 - y 2 - 2 y + 1 5 = 1 → 5 x 2 + 30 x + 45 - 4 y 2 - 8 y + 4 20 = 20 20 →

→ 5 x 2 + 30 x + 45 - 4 y 2 + 8 y - 4 20 = 20 20 → 5 x 2 + 30 x + 45 - 4 y 2 + 8 y - 4 = 20 →

→ 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 41 = 20 → 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 41 - 20 = 0 →

→ 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 21 = 0

Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:

5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 21 = 0

Passo 5

Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 21 = 0 :

Resposta

5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 8 y + 21 = 0

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Ache a equação da hipérbole satisfazendo as condições dadas e faça um esboço do gráfico.Um foco em - 3 - 3 13 ,1 , as assíntotas interceptam-se em - 3 ,1 e uma assíntota passa pelo ponto 1 ,7 .
Ache a equação da reta tangente à hipérbole 4 x 2 - y 2 = - 1 no ponto 1 2 ,2 .
Ache a equação da hipérbole cujos os focos são os vértices da elipse 7 x 2 + 11 y 2 = 77 e cujos os vértices são os focos dessa elipse.
Ache a equação da reta normal à hipérbole 4 x 2 - 3 y 2 = 24 no ponto 3 ,2 .
Para uma hipérbole equilátera tendo centro em h ,k e eixo principal paralelo ao eixo x , prove que as assíntotas são perpendiculares.