Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Hipérbole - Ex. 29
Determinar uma equação da hipérbole que satisfaça as condições dadas. Esboçar o gráfico.
Vértice em e e um foco em
Passo 1
Vamos lá, temos que a hipérbole possuem os seguintes elementos:
- Dois focos, e , que possui uma distância focal de entre eles
- Um centro que é o ponto médio do segmento dos focos
- Dois vértices, e
- O eixo real que é o segmento com comprimento
- O eixo imaginário que é o segmento com comprimento
Aqui vemos que o real é paralelo ao eixo , pois os pontos tem o valor constante igual a , assim a equação vai ser da forma:
Vamos então encontrar os valores , , e .
Passo 2
Pelas informações do enunciado temos que um foco é e os dois vértices em e , vamos ver esses pontos no gráfico:
Temos então que a distância entre os dois vértices é igual a , então vamos achar :
Além do centro ser o ponto médio do segmento dos focos ele também é o ponto médio dos segmentos dos vértices , assim temos:
O centro é então , e com essa informação podemos encontrar o valor de , já que a distância do centro ao foco é igual a :
Passo 3
Vamos também encontrar o outro foco para montar o gráfico, como a distância do centro aos focos é de , temos então que a coordenada dele é:
E a é constante e igual à , assim o outro foco é .
Precisamos agora encontrar , e para isso podemos usar a seguinte expressão:
Vamos então substituir os valores:
Passo 4
Pronto, vamos agora substituir os valores na equação da hipérbole, o centro , e :
Assim conseguimos então a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas, e ela é:
Passo 5
Agora vamos esboçar o gráfico usando a expressão da hipérbole que encontramos, :
