Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas r ,   s ,   t e pelo plano π , nos casos:

(b) π :     x + y - z + 1 = 0         r : x = y = z + 1       s : x + y = 0 = z + 1       t : x + y - z = 1 = x + 1

Passo 1

Para calcularmos o volume do tetraedro formado pelas retas e pelo plano dados no enunciado, é necessário que encontremos seus vértices a partir da interseção entre as retas e o plano e, em seguida, caso existam os vértices, utilizar o produto misto para calcular seu volume.

Portanto, dividiremos, o exercício em partes.

Vamos lá!

Passo 2

Sejam, conforme no enunciado, o plano e as retas:

π : x + y - z + 1 = 0

r : x = y = z + 1

s : x + y = 0 = z + 1

t : x + y - z = 1 = x + 1

Para facilitar os cálculos, podemos colocar as equações das retas na forma vetorial. Temos, então:

r : X = 0 ,   0 ,   - 1 + λ 1,1 ,   1

s : X = 0 ,   0 ,   - 1 + λ 1 , -   1 ,   0

t : X = 0 ,   0 ,   - 1 + γ 0 ,   1 ,   1

Passo 3

Temos agora que analisar a interseção entre o plano e as retas. Começaremos, portanto, com a reta s . Tomando seu vetor diretor s → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e também o vetor normal ao plano n → = 1,1 , - 1 .

Fazendo o produto interno:

s → ⋅ n → = 1 1 + - 1 1 + 0 - 1 = 0

Como o produto interno é igual a zero, então os vetores s e n são perpendiculares.

Logo, a reta dada é paralela ou está contida no plano dado. Tomando um ponto seu P = 0 ,   0 ,   - 1 , vemos que a reta não está contida no plano.

Portanto, pelos resultados obtidos anteriormente, podemos verificar que a reta s é paralela ao plano dado. Logo, não existe um tetraedro formado pelo plano e retas dados.

Resposta

Não existe o tetraedro, pois s é paralela a π .

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