Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 18.Exercício - Ex. 14b
Calcule o volume do tetraedro (SO) determinado pelas retas e pelo plano , nos casos:
(b)
Passo 1
Para calcularmos o volume do tetraedro formado pelas retas e pelo plano dados no enunciado, é necessário que encontremos seus vértices a partir da interseção entre as retas e o plano e, em seguida, caso existam os vértices, utilizar o produto misto para calcular seu volume.
Portanto, dividiremos, o exercício em partes.
Vamos lá!
Passo 2
Sejam, conforme no enunciado, o plano e as retas:
Para facilitar os cálculos, podemos colocar as equações das retas na forma vetorial. Temos, então:
Passo 3
Temos agora que analisar a interseção entre o plano e as retas. Começaremos, portanto, com a reta . Tomando seu vetor diretor e também o vetor normal ao plano .
Fazendo o produto interno:
Como o produto interno é igual a zero, então os vetores e são perpendiculares.
Logo, a reta dada é paralela ou está contida no plano dado. Tomando um ponto seu , vemos que a reta não está contida no plano.
Portanto, pelos resultados obtidos anteriormente, podemos verificar que a reta é paralela ao plano dado. Logo, não existe um tetraedro formado pelo plano e retas dados.
Resposta
Não existe o tetraedro, pois é paralela a .